Номер 3.63, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.63. Докажите, что функция $f(x) = \frac{2x^2}{x^2-1}$ является четной.

Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий, которым должна удовлетворять любая четная функция:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат. Это означает, что если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ также должен принадлежать ей.
2. Для любого значения $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим выполнение этих условий для заданной функции.

1. Нахождение и анализ области определения.

Функция представляет собой дробь, поэтому ее область определения — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем значения $x$, которые необходимо исключить:

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

$x = 1$ и $x = -1$.

Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это множество всех действительных чисел, кроме $1$ и $-1$. В виде интервалов это записывается как $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Данная область определения симметрична относительно нуля, так как если число $x$ не равно $1$ и $-1$, то и противоположное ему число $-x$ также не будет равно $1$ и $-1$. Таким образом, первое условие выполняется.

2. Проверка равенства $f(-x) = f(x)$.

Теперь подставим $-x$ в выражение для функции вместо $x$:

$f(-x) = \frac{2(-x)^2}{(-x)^2 - 1}$

Учитывая, что возведение в квадрат отрицательного числа дает тот же результат, что и возведение в квадрат положительного числа, то есть $(-x)^2 = x^2$, упростим выражение:

$f(-x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$

Сравнив полученный результат с исходной функцией $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$, мы видим, что $f(-x) = f(x)$. Второе условие также выполняется.

Вывод:

Поскольку оба условия (симметричность области определения и равенство $f(-x) = f(x)$) выполняются, функция $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$ является четной. Что и требовалось доказать.