Номер 3.67, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.67. Постройте графики уравнений системы $\begin{cases}2x + y = -1, \\-2x + y = 1\end{cases}$ и определите число решений системы.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала построить графики для каждого уравнения, а затем на основе их взаимного расположения определить количество решений системы.

Чтобы построить графики, представим каждое линейное уравнение в виде функции $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – точка пересечения с осью $y$. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух любых точек.

1. Первое уравнение: $2x + y = -1$

Выразим $y$ через $x$:

$y = -2x - 1$

Найдем координаты двух точек:

• Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
• Если $x = -1$, то $y = -2 \cdot (-1) - 1 = 2 - 1 = 1$. Получаем точку $(-1, 1)$.

График этого уравнения — прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(-1, 1)$.

2. Второе уравнение: $-2x + y = 1$

Выразим $y$ через $x$:

$y = 2x + 1$

Найдем координаты двух точек:

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
• Если $x = -1$, то $y = 2 \cdot (-1) + 1 = -2 + 1 = -1$. Получаем точку $(-1, -1)$.

График этого уравнения — прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, -1)$.

Ответ: Графики уравнений системы — это две прямые, заданные уравнениями $y = -2x - 1$ и $y = 2x + 1$.

Число решений системы уравнений равно количеству точек пересечения их графиков. Взаимное расположение прямых определяется их угловыми коэффициентами.

• Угловой коэффициент первой прямой ($y = -2x - 1$) равен $k_1 = -2$.
• Угловой коэффициент второй прямой ($y = 2x + 1$) равен $k_2 = 2$.

Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), прямые не параллельны и пересекаются ровно в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.

Найдем эту точку пересечения, решив систему алгебраически. Сложим два исходных уравнения:

$(2x + y) + (-2x + y) = -1 + 1$

$2y = 0$

$y = 0$

Подставим значение $y = 0$ в любое из уравнений, например, во второе:

$-2x + 0 = 1$

$x = -\frac{1}{2}$

Точка пересечения графиков имеет координаты $(-\frac{1}{2}, 0)$. Так как точка пересечения единственная, система имеет одно решение.

Ответ: Система имеет 1 решение.