Номер 3.71, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.71. На рисунке 70 изображены графики функций $y = \frac{8}{x}$, $y = x + 2$ и $y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 4$.

Рис. 70

С помощью рисунка решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} xy = 8, \\ y = x + 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 4, \\ y - x = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 4, \\ xy = 8. \end{cases}$

Для решения систем уравнений графическим методом необходимо найти координаты точек пересечения графиков функций, входящих в систему. Решение — это пары чисел $(x; y)$, соответствующие этим точкам. На данном рисунке изображены три графика:

• $y = \frac{8}{x}$ — гипербола (синий график).
• $y = x + 2$ — прямая (черный график).
• $y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 4$ — парабола (красный график).

а) Решаем систему уравнений:$$ \begin{cases} xy = 8 \\ y = x + 2 \end{cases} $$Для решения этой системы необходимо найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{8}{x}$ (гипербола) и $y = x + 2$ (прямая). На рисунке это пересечение синего и черного графиков.
Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты (2; 4) и (-4; -2).
Ответ: (2; 4), (-4; -2).

б) Решаем систему уравнений:$$ \begin{cases} y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 4 \\ y - x = 2 \end{cases} $$Второе уравнение системы можно преобразовать к виду $y = x + 2$. Таким образом, для решения необходимо найти точки пересечения графиков $y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 4$ (парабола) и $y = x + 2$ (прямая). На рисунке это пересечение красного и черного графиков.
Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты (2; 4) и (-4; -2).
Ответ: (2; 4), (-4; -2).

в) Решаем систему уравнений:$$ \begin{cases} y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 4 \\ xy = 8 \end{cases} $$Первое уравнение соответствует параболе, а второе, $y = \frac{8}{x}$, — гиперболе. Для решения необходимо найти точки пересечения параболы (красный график) и гиперболы (синий график).
Из графика видно, что графики пересекаются в трех точках с координатами (2; 4), (-2; -4) и (-4; -2).
Ответ: (2; 4), (-2; -4), (-4; -2).