вопрос 1, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Какие из следующих систем уравнений:
a) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2, \\ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = 5; \end{cases}$
б) $\begin{cases} x + y = 1, \\ -3xy = 4; \end{cases}$
в) $\begin{cases} 2x = -5y + 20, \\ y^2 = 4; \end{cases}$
г) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x + y = 5 \end{cases}$ — являются системами нелинейных уравнений?

Система уравнений является нелинейной, если хотя бы одно из входящих в нее уравнений является нелинейным. Уравнение является нелинейным, если переменные в нем содержатся в степени, отличной от первой, находятся в знаменателе дроби, под знаком корня или являются аргументами нелинейных функций, а также если уравнение содержит произведение переменных. Рассмотрим каждую систему отдельно.

а) Система $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = 5 \end{cases}$
В данной системе оба уравнения являются нелинейными. В первом уравнении $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$ переменные находятся в знаменателе, что эквивалентно отрицательной степени ($x^{-1} - y^{-1} = 2$). Во втором уравнении $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = 5$ переменные также находятся в знаменателе и возведены в квадрат. Так как хотя бы одно уравнение нелинейно, вся система является нелинейной.
Ответ: является системой нелинейных уравнений.

б) Система $\begin{cases} x + y = 1 \\ -3xy = 4 \end{cases}$
Первое уравнение $x + y = 1$ является линейным. Однако второе уравнение $-3xy = 4$ является нелинейным, так как оно содержит произведение переменных $xy$. Наличие хотя бы одного нелинейного уравнения делает всю систему нелинейной.
Ответ: является системой нелинейных уравнений.

в) Система $\begin{cases} 2x = -5y + 20 \\ y^2 = 4 \end{cases}$
Первое уравнение $2x = -5y + 20$ (или $2x + 5y - 20 = 0$) является линейным. Второе уравнение $y^2 = 4$ является нелинейным, потому что переменная $y$ возведена во вторую степень. Следовательно, система является нелинейной.
Ответ: является системой нелинейных уравнений.

г) Система $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases}$
Оба уравнения в этой системе являются линейными. Переменные $x$ и $y$ в обоих уравнениях находятся в первой степени, и нет произведений переменных. Такая система называется системой линейных уравнений.
Ответ: не является системой нелинейных уравнений.

Таким образом, системами нелинейных уравнений являются системы, представленные в пунктах а), б) и в).