Номер 3.77, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.77. Решите задачу, используя зависимости между значениями величин для составления системы уравнений.

а) Первый велосипедист преодолевает расстояние 60 км на 1 ч быстрее, чем второй. Если бы первый велосипедист уменьшил скорость на $2 \frac{км}{ч}$, а второй увеличил свою скорость на $20 \%$, то они затратили бы на тот же путь одинаковое время. Найдите скорости велосипедистов.

б) Протяженность шоссе между городами A и B составляет 120 км. Из города A выехал грузовой автомобиль, а через 1 ч 40 мин после этого в том же направлении выехал рейсовый автобус, который прибыл в город B одновременно с грузовым автомобилем. Найдите скорость грузового автомобиля и автобуса, если известно, что грузовой автомобиль за 2 ч проезжает на 10 км меньше, чем автобус за 1 ч.

в) Две линии по производству соков должны были выполнить заказ за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая линия была остановлена по техническим причинам, поэтому вторая линия закончила оставшуюся часть заказа за 7 дней. Найдите, за сколько дней был бы выполнен заказ, если бы работала только вторая линия.

г) На изготовление партии продукции первой бригаде требуется на 6 ч больше, чем второй. Если сначала первая бригада отработает 3 ч, а затем, сменив ее, вторая бригада отработает 4 ч, то будет изготовлена только половина партии продукции. Будет ли за 8-часовую смену изготовлена вся партия продукции, если обе бригады будут работать одновременно?

а) Пусть $x$ км/ч - скорость первого велосипедиста, а $y$ км/ч - скорость второго велосипедиста. Расстояние равно 60 км.

Время, которое тратит первый велосипедист на путь: $t_1 = \frac{60}{x}$ ч.

Время, которое тратит второй велосипедист на путь: $t_2 = \frac{60}{y}$ ч.

По условию, первый велосипедист проезжает расстояние на 1 час быстрее, чем второй:

$t_2 - t_1 = 1 \implies \frac{60}{y} - \frac{60}{x} = 1$. Это первое уравнение системы.

По второму условию, если скорость первого уменьшится на 2 км/ч, она станет $(x-2)$ км/ч. А скорость второго увеличится на 20%, то есть станет $y + 0.2y = 1.2y$ км/ч. В этом случае они затратят одинаковое время:

$\frac{60}{x-2} = \frac{60}{1.2y}$. Это второе уравнение системы.

Составим и решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{60}{y} - \frac{60}{x} = 1 \\ \frac{60}{x-2} = \frac{60}{1.2y} \end{cases} $$

Из второго уравнения (разделив обе части на 60) получаем:

$x-2 = 1.2y \implies x = 1.2y + 2$.

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$\frac{60}{y} - \frac{60}{1.2y+2} = 1$.

Умножим обе части на $y(1.2y+2)$:

$60(1.2y+2) - 60y = y(1.2y+2)$

$72y + 120 - 60y = 1.2y^2 + 2y$

$12y + 120 = 1.2y^2 + 2y$

$1.2y^2 - 10y - 120 = 0$

Умножим на 10, чтобы избавиться от дроби, и разделим на 4 для упрощения:

$12y^2 - 100y - 1200 = 0$

$3y^2 - 25y - 300 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4(3)(-300) = 625 + 3600 = 4225 = 65^2$.

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 \pm 65}{6}$.

$y_1 = \frac{25+65}{6} = \frac{90}{6} = 15$.

$y_2 = \frac{25-65}{6} = -\frac{40}{6}$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

Итак, скорость второго велосипедиста $y = 15$ км/ч.

Найдем скорость первого велосипедиста:

$x = 1.2y + 2 = 1.2 \cdot 15 + 2 = 18 + 2 = 20$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста 20 км/ч, скорость второго велосипедиста 15 км/ч.

б) Пусть $v_г$ км/ч - скорость грузового автомобиля, а $v_а$ км/ч - скорость автобуса. Расстояние равно 120 км.

Время в пути для грузовика: $t_г = \frac{120}{v_г}$ ч.

Время в пути для автобуса: $t_а = \frac{120}{v_а}$ ч.

Автобус выехал на 1 ч 40 мин позже грузовика и прибыл одновременно. 1 ч 40 мин = $1 + \frac{40}{60} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ часа. Значит, автобус был в пути на $\frac{5}{3}$ часа меньше.

$t_г - t_а = \frac{5}{3} \implies \frac{120}{v_г} - \frac{120}{v_а} = \frac{5}{3}$. Это первое уравнение.

По второму условию, грузовой автомобиль за 2 ч проезжает на 10 км меньше, чем автобус за 1 ч.

Расстояние грузовика за 2 ч: $2v_г$.

Расстояние автобуса за 1 ч: $1v_а$.

$2v_г = v_а - 10 \implies v_а = 2v_г + 10$. Это второе уравнение.

Составим и решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{120}{v_г} - \frac{120}{v_а} = \frac{5}{3} \\ v_а = 2v_г + 10 \end{cases} $$

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{120}{v_г} - \frac{120}{2v_г+10} = \frac{5}{3}$.

Разделим обе части на 5:

$\frac{24}{v_г} - \frac{24}{2v_г+10} = \frac{1}{3}$.

Умножим обе части на $3v_г(2v_г+10)$:

$24 \cdot 3(2v_г+10) - 24 \cdot 3v_г = v_г(2v_г+10)$

$72(2v_г+10) - 72v_г = 2v_г^2 + 10v_г$

$144v_г + 720 - 72v_г = 2v_г^2 + 10v_г$

$72v_г + 720 = 2v_г^2 + 10v_г$

$2v_г^2 - 62v_г - 720 = 0$

Разделим на 2:

$v_г^2 - 31v_г - 360 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-31)^2 - 4(1)(-360) = 961 + 1440 = 2401 = 49^2$.

$v_г = \frac{31 \pm 49}{2}$.

$(v_г)_1 = \frac{31+49}{2} = \frac{80}{2} = 40$.

$(v_г)_2 = \frac{31-49}{2} = -9$ (не подходит).

Итак, скорость грузового автомобиля $v_г = 40$ км/ч.

Найдем скорость автобуса:

$v_а = 2v_г + 10 = 2 \cdot 40 + 10 = 80 + 10 = 90$ км/ч.

Ответ: скорость грузового автомобиля 40 км/ч, скорость автобуса 90 км/ч.

в) Пусть весь заказ равен 1. Пусть $p_1$ - производительность первой линии (часть заказа в день), а $p_2$ - производительность второй линии.

По первому условию, две линии вместе должны были выполнить заказ за 12 дней. Это значит, что их совместная производительность равна $\frac{1}{12}$ заказа в день.

$p_1 + p_2 = \frac{1}{12}$.

Линии работали вместе 8 дней. За это время они выполнили часть заказа:

$W_{совм} = (p_1 + p_2) \cdot 8 = \frac{1}{12} \cdot 8 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ всего заказа.

Оставшаяся часть заказа:

$W_{ост} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Эту оставшуюся часть вторая линия закончила за 7 дней, работая в одиночку. Отсюда можем найти производительность второй линии:

$W_{ост} = p_2 \cdot 7 \implies \frac{1}{3} = 7p_2$.

$p_2 = \frac{1}{3 \cdot 7} = \frac{1}{21}$ заказа в день.

Вопрос задачи: за сколько дней был бы выполнен заказ, если бы работала только вторая линия. Это время $T_2$ можно найти, разделив весь заказ (1) на производительность второй линии ($p_2$):

$T_2 = \frac{1}{p_2} = \frac{1}{1/21} = 21$ день.

Ответ: если бы работала только вторая линия, заказ был бы выполнен за 21 день.

г) Пусть вся партия продукции равна 1. Пусть $t_1$ ч - время, за которое первая бригада изготовит всю партию, а $t_2$ ч - время для второй бригады.

Тогда производительность первой бригады $p_1 = \frac{1}{t_1}$, а второй - $p_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть партии в час).

По условию, первой бригаде требуется на 6 ч больше, чем второй:

$t_1 = t_2 + 6$.

По второму условию, если первая бригада отработает 3 ч, а затем вторая - 4 ч, будет изготовлена половина партии:

$3p_1 + 4p_2 = \frac{1}{2}$.

Составим систему. Удобнее работать со временем $t_1$ и $t_2$. Перепишем второе уравнение:

$\frac{3}{t_1} + \frac{4}{t_2} = \frac{1}{2}$.

Подставим $t_1 = t_2 + 6$ в это уравнение:

$\frac{3}{t_2+6} + \frac{4}{t_2} = \frac{1}{2}$.

Приведем к общему знаменателю $2t_2(t_2+6)$:

$3 \cdot 2t_2 + 4 \cdot 2(t_2+6) = t_2(t_2+6)$

$6t_2 + 8t_2 + 48 = t_2^2 + 6t_2$

$14t_2 + 48 = t_2^2 + 6t_2$

$t_2^2 - 8t_2 - 48 = 0$.

По теореме Виета или через дискриминант находим корни. Корни: 12 и -4.

$t_2 = 12$ (так как время не может быть отрицательным).

$t_2 = -4$ (не подходит).

Время работы второй бригады $t_2 = 12$ часов. Время работы первой бригады $t_1 = 12 + 6 = 18$ часов.

Теперь ответим на главный вопрос: будет ли за 8-часовую смену изготовлена вся партия, если обе бригады будут работать одновременно?

Найдем их совместную производительность:

$p_{совм} = p_1 + p_2 = \frac{1}{18} + \frac{1}{12}$.

Общий знаменатель 36:

$p_{совм} = \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{5}{36}$ партии в час.

Найдем время $T_{совм}$, необходимое для изготовления всей партии (1):

$T_{совм} = \frac{1}{p_{совм}} = \frac{1}{5/36} = \frac{36}{5}$ часа.

Переведем в смешанную дробь: $\frac{36}{5} = 7 \frac{1}{5}$ часа. Это равно 7 часам и 12 минутам.

Сравним это время с 8-часовой сменой: $7 \frac{1}{5} < 8$.

Так как требуемое время меньше 8 часов, бригады успеют изготовить всю партию.

Ответ: Да, будет. Время совместной работы для изготовления всей партии составит $\frac{36}{5} = \mathbf{7}\frac{1}{5}$ часа, что меньше 8 часов.