Номер 3.84, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.84. Найдите два числа, сумма, разность и произведение которых находятся в отношении $5 : 1 : 18$.

Пусть искомые числа - это $x$ и $y$. Для определенности предположим, что $x \ge y$.

Согласно условию задачи, их сумма $(x+y)$, разность $(x-y)$ и произведение $(xy)$ находятся в отношении $5:1:18$.

Это соотношение можно выразить через систему уравнений с помощью коэффициента пропорциональности $k$, где $k \ne 0$ (так как отношение содержит ненулевые элементы):

$\begin{cases} x + y = 5k \\x - y = k \\xy = 18k \end{cases}$

Для нахождения $x$ и $y$ решим эту систему. Сначала выразим $x$ и $y$ через $k$ из первых двух уравнений.

Сложим первое и второе уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 5k + k$

$2x = 6k$

$x = 3k$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x+y) - (x-y) = 5k - k$

$2y = 4k$

$y = 2k$

Мы получили выражения для $x$ и $y$ через $k$. Подставим их в третье уравнение системы, чтобы найти $k$:

$xy = 18k$

$(3k)(2k) = 18k$

$6k^2 = 18k$

Перенесем все члены в одну сторону:

$6k^2 - 18k = 0$

$6k(k - 3) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $k=0$ или $k=3$. Поскольку мы приняли, что $k \ne 0$ (иначе сумма, разность и произведение были бы равны нулю, а их отношение было бы не $5:1:18$), единственным подходящим решением является $k=3$.

Теперь найдем искомые числа, подставив значение $k=3$ в выражения для $x$ и $y$:

$x = 3k = 3 \cdot 3 = 9$

$y = 2k = 2 \cdot 3 = 6$

Таким образом, искомые числа — это 9 и 6.

Проверка:

• Сумма чисел: $9 + 6 = 15$
• Разность чисел: $9 - 6 = 3$
• Произведение чисел: $9 \cdot 6 = 54$

Найдем отношение полученных результатов: $15 : 3 : 54$.

Чтобы упростить это отношение, разделим каждую его часть на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$15 \div 3 = 5$

$3 \div 3 = 1$

$54 \div 3 = 18$

Полученное отношение $5:1:18$ полностью совпадает с условием задачи.

Первое число: Ответ: 9

Второе число: Ответ: 6