Номер 3.86, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.86. С помощью графического метода определите, сколько решений имеет система уравнений:

a) $ \begin{cases} xy = -4, \\ y = x^2 - 2x + 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y = x^3, \\ y - (x+2)^2 = -7; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ xy = 6; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} y - |x - 1| = 0, \\ 2x + y - 5 = 0. \end{cases} $

a) Для решения системы уравнений $ \begin{cases} xy = -4, \\ y = x^2 - 2x + 1; \end{cases} $ построим графики каждой функции.

Первое уравнение, $xy = -4$, можно переписать как $y = -4/x$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

Второе уравнение, $y = x^2 - 2x + 1$, можно представить в виде $y = (x-1)^2$, используя формулу квадрата разности. Это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$, а ветви направлены вверх.

Графики можно построить по точкам:

• Для гиперболы $y = -4/x$: $(-4, 1), (-2, 2), (-1, 4), (1, -4), (2, -2), (4, -1)$.
• Для параболы $y = (x-1)^2$: $(-1, 4), (0, 1), (1, 0), (2, 1), (3, 4)$.

Парабола $y = (x-1)^2$ расположена выше оси Ox (или на ней), то есть $y \ge 0$. Гипербола $y = -4/x$ имеет положительные значения $y$ только при $x < 0$ (II четверть). Следовательно, точки пересечения могут существовать только во II четверти. Сравнивая таблицы точек, мы видим общую точку $(-1, 4)$. Аналитически можно убедиться, что решение единственное. Приравняв выражения для $y$, получим уравнение $x(x-1)^2 = -4$, или $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$. У этого уравнения есть один действительный корень $x=-1$. Таким образом, графики пересекаются в одной точке.

Ответ: 1

б) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y = x^3, \\ y - (x+2)^2 = -7; \end{cases} $

Первое уравнение $y = x^3$ задает кубическую параболу, проходящую через начало координат.

Второе уравнение $y - (x+2)^2 = -7$ можно переписать как $y = (x+2)^2 - 7$. Это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 2 единицы влево и на 7 единиц вниз. Вершина параболы находится в точке $(-2, -7)$.

Чтобы определить количество решений, проанализируем поведение графиков.

• При $x \to +\infty$ кубическая парабола ($x^3$) растет быстрее параболы ($x^2$), значит, при достаточно больших $x$ график $y=x^3$ будет выше.
• При $x \to -\infty$ кубическая парабола уходит в $-\infty$, а парабола уходит в $+\infty$, значит, графики обязательно пересекутся при некотором отрицательном $x$.
• В точке $x=-2$ (вершина параболы) имеем: $y = (-2)^3 = -8$ для кубической параболы и $y = -7$ для параболы. Парабола выше.
• В точке $x=2$ имеем: $y = 2^3 = 8$ для кубической параболы и $y = (2+2)^2 - 7 = 9$ для параболы. Парабола все еще выше.
• В точке $x=3$ имеем: $y = 3^3 = 27$ и $y = (3+2)^2 - 7 = 18$. Кубическая парабола стала выше.

Из анализа следует, что графики пересекаются трижды: один раз при $x<-2$, второй раз между -2 и 2, и третий раз при $x>2$.

Ответ: 3

в) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ xy = 6; \end{cases} $

Первое уравнение $y = \sqrt{x}$ задает график функции квадратного корня. Он определен для $x \ge 0$ и $y \ge 0$ и является возрастающей функцией.

Второе уравнение $xy = 6$ можно переписать как $y = 6/x$. Это гипербола. Поскольку для первой функции $x$ и $y$ неотрицательны, нас интересует только ветвь гиперболы в I координатной четверти. В этой четверти функция $y=6/x$ является убывающей.

Возрастающая функция ($y = \sqrt{x}$) и убывающая функция ($y = 6/x$) могут пересечься не более одного раза на их общей области определения ($x > 0$). При $x=1$, $\sqrt{x}=1$, а $6/x=6$. При $x=4$, $\sqrt{x}=2$, а $6/x=1.5$. Поскольку в точке $x=1$ гипербола выше, а в точке $x=4$ ниже графика корня, и обе функции непрерывны, они должны пересечься в одной точке между $x=1$ и $x=4$.

Ответ: 1

г) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y - |x-1| = 0, \\ 2x + y - 5 = 0. \end{cases} $

Первое уравнение $y - |x-1| = 0$ переписывается как $y = |x-1|$. График этой функции — "галочка" (V-образная линия), полученная сдвигом графика $y=|x|$ на 1 единицу вправо. Вершина находится в точке $(1, 0)$.

Второе уравнение $2x + y - 5 = 0$ переписывается как $y = -2x + 5$. Это прямая с угловым коэффициентом $-2$ и пересечением с осью Oy в точке $(0, 5)$.

Для нахождения точек пересечения решим систему, раскрыв модуль для двух случаев.
Случай 1: $x \ge 1$. Тогда $|x-1| = x-1$.
$ \begin{cases} y = x-1, \\ y = -2x+5; \end{cases} $
Приравниваем правые части: $x-1 = -2x+5 \implies 3x=6 \implies x=2$.
Условие $x \ge 1$ выполняется, так как $2 \ge 1$. Это решение подходит.

Случай 2: $x < 1$. Тогда $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$ \begin{cases} y = 1-x, \\ y = -2x+5; \end{cases} $
Приравниваем правые части: $1-x = -2x+5 \implies x=4$.
Условие $x < 1$ не выполняется, так как $4$ не меньше $1$. Это решение не подходит.

Таким образом, существует только одна точка пересечения графиков.

Ответ: 1