Номер 3.85, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.85. Школьный бассейн можно наполнять водой через два крана. Если их открыть одновременно, то бассейн наполнится за 4 ч 30 мин. Если же половину бассейна наполнить через один кран, а затем открыть только другой, то для наполнения бассейна потребуется 12 ч. За какое время бассейн наполняется через первый кран, если известно, что производительность первого крана больше?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Пусть вся работа по наполнению бассейна равна 1.
• $p_1$ – производительность первого крана (какую часть бассейна он наполняет за 1 час).
• $p_2$ – производительность второго крана (какую часть бассейна он наполняет за 1 час).
• $t_1$ – время, за которое первый кран наполнит весь бассейн ($t_1 = 1/p_1$).
• $t_2$ – время, за которое второй кран наполнит весь бассейн ($t_2 = 1/p_2$).

По условию, производительность первого крана больше, следовательно, $p_1 > p_2$, а время на наполнение у него меньше, т.е. $t_1 < t_2$.

1. Если оба крана открыты одновременно, бассейн наполнится за 4 ч 30 мин. Переведем время в часы: $4 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 4,5 \text{ ч} = \frac{9}{2} \text{ ч}$. Совместная производительность кранов равна $p_1 + p_2$. Получаем первое уравнение: $(p_1 + p_2) \cdot \frac{9}{2} = 1$, откуда $p_1 + p_2 = \frac{2}{9}$.

2. Если половину бассейна ($1/2$ всей работы) наполнить через один кран, а вторую половину – через другой, потребуется 12 часов. Время на наполнение половины бассейна первым краном: $t_{1/2} = \frac{1/2}{p_1} = \frac{1}{2p_1}$. Время на наполнение половины бассейна вторым краном: $t_{2/2} = \frac{1/2}{p_2} = \frac{1}{2p_2}$. Суммарное время: $\frac{1}{2p_1} + \frac{1}{2p_2} = 12$. Умножим обе части на 2 и получим второе уравнение: $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} = 24$.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:$$\begin{cases}p_1 + p_2 = \frac{2}{9} \\\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} = 24\end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:$\frac{p_2 + p_1}{p_1 p_2} = 24$.

Мы знаем из первого уравнения, что $p_1 + p_2 = \frac{2}{9}$. Подставим это значение во второе уравнение:$\frac{2/9}{p_1 p_2} = 24$.

Отсюда найдем произведение производительностей $p_1 p_2$:$p_1 p_2 = \frac{2/9}{24} = \frac{2}{9 \cdot 24} = \frac{1}{9 \cdot 12} = \frac{1}{108}$.

Теперь у нас есть система, основанная на теореме Виета для квадратного уравнения $z^2 - (p_1+p_2)z + p_1p_2 = 0$:$$\begin{cases}p_1 + p_2 = \frac{2}{9} \\p_1 p_2 = \frac{1}{108}\end{cases}$$

Составим и решим квадратное уравнение, корнями которого являются $p_1$ и $p_2$:$z^2 - \frac{2}{9}z + \frac{1}{108} = 0$.

Умножим уравнение на 108, чтобы избавиться от дробей:$108z^2 - 24z + 1 = 0$.

Найдем дискриминант:$D = (-24)^2 - 4 \cdot 108 \cdot 1 = 576 - 432 = 144 = 12^2$.

Найдем корни уравнения (значения производительностей):$z_1 = \frac{24 + 12}{2 \cdot 108} = \frac{36}{216} = \frac{1}{6}$.$z_2 = \frac{24 - 12}{2 \cdot 108} = \frac{12}{216} = \frac{1}{18}$.

Мы получили два значения для производительностей: $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{18}$. По условию, производительность первого крана больше ($p_1 > p_2$). Сравнивая дроби, получаем:$\frac{1}{6} > \frac{1}{18}$. Следовательно, $p_1 = \frac{1}{6}$ и $p_2 = \frac{1}{18}$.

Время, за которое первый кран наполнит бассейн, равно $t_1 = \frac{1}{p_1}$.$t_1 = \frac{1}{1/6} = 6$ часов.