Номер 3.80, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.80. С помощью изображенных на рисунке 71 графиков функций $y = 4 - x^2$, $y = 2x + 4$ и $y = \sqrt{x + 1}$ составьте систему уравнений:

а) имеющую два решения;

б) имеющую одно решение;

в) не имеющую решений.

Рис. 71

Решение системы двух уравнений с двумя переменными — это пара значений (x, y), которая удовлетворяет каждому из уравнений системы. Графически, решениями системы являются координаты точек пересечения графиков функций, входящих в систему.

На рисунке 71 изображены графики трех функций:

• $y = 4 - x^2$ — парабола, ветви которой направлены вниз (синий график).
• $y = 2x + 4$ — прямая линия (черный график).
• $y = \sqrt{x + 1}$ — ветвь параболы, направленной вправо (красный график).

Для составления систем уравнений с требуемым количеством решений, необходимо выбрать пары функций, графики которых имеют соответствующее число точек пересечения.

Чтобы система имела два решения, нужно выбрать уравнения двух функций, графики которых пересекаются в двух точках. Из рисунка видно, что парабола $y = 4 - x^2$ и прямая $y = 2x + 4$ имеют две общие точки. Координаты этих точек пересечения: $(-2, 0)$ и $(0, 4)$. Таким образом, система, составленная из уравнений этих функций, будет иметь два решения.

Ответ: $$ \begin{cases} y = 4 - x^2 \\ y = 2x + 4 \end{cases} $$

Для того чтобы система имела одно решение, необходимо выбрать уравнения функций, графики которых пересекаются только в одной точке. На графике видно, что парабола $y = 4 - x^2$ и график функции $y = \sqrt{x + 1}$ имеют одну точку пересечения. Следовательно, система, состоящая из этих двух уравнений, будет иметь одно решение.

Ответ: $$ \begin{cases} y = 4 - x^2 \\ y = \sqrt{x+1} \end{cases} $$

Система не будет иметь решений, если графики функций, входящих в нее, не пересекаются. На рисунке видно, что прямая $y = 2x + 4$ и график функции $y = \sqrt{x + 1}$ не имеют общих точек. Проверим это аналитически, приравняв правые части уравнений: $2x + 4 = \sqrt{x+1}$ Возведем обе части в квадрат (при условии $x \ge -1$, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, и $2x+4 \ge 0$, т.е. $x \ge -2$; общее условие $x \ge -1$): $(2x + 4)^2 = x + 1$ $4x^2 + 16x + 16 = x + 1$ $4x^2 + 15x + 15 = 0$ Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 225 - 240 = -15$ Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это подтверждает, что графики не пересекаются, и система не имеет решений.

Ответ: $$ \begin{cases} y = 2x + 4 \\ y = \sqrt{x+1} \end{cases} $$