Номер 3.93, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.93*: Решите уравнение $x^2 + 4y^2 + |3x - y + 10| = 4xy$.

Для решения данного уравнения перенесем член $4xy$ в левую часть и сгруппируем слагаемые:

$$x^2 - 4xy + 4y^2 + |3x - y + 10| = 0$$

Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат разности $(x - 2y)^2$:

$$(x - 2y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$$

Подставим это в уравнение:

$$(x - 2y)^2 + |3x - y + 10| = 0$$

В левой части уравнения находится сумма двух неотрицательных выражений. Квадрат любого действительного числа $(x - 2y)^2$ всегда больше или равен нулю ($ \ge 0 $). Модуль любого действительного числа $|3x - y + 10|$ также всегда больше или равен нулю ($ \ge 0 $).

Сумма двух неотрицательных выражений может быть равна нулю только в том случае, если каждое из этих выражений равно нулю. Это условие приводит нас к системе уравнений:

$$ \begin{cases} (x - 2y)^2 = 0 \\ |3x - y + 10| = 0 \end{cases} $$

Эта система равносильна следующей системе линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ 3x - y + 10 = 0 \end{cases} $$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$$x = 2y$$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$$3(2y) - y + 10 = 0$$

$$6y - y + 10 = 0$$

$$5y = -10$$

$$y = -2$$

Наконец, найдем соответствующее значение $x$, подставив найденный $y$ в выражение $x = 2y$:

$$x = 2(-2) = -4$$

Таким образом, единственное решение уравнения — это пара чисел $x = -4$ и $y = -2$.

Ответ: $x = -4, y = -2$.