Номер 3.96, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.96. На рисунке 72 изображены графики функций $y = -\frac{6}{x}$, $y = -2x - 3$ и $y = (x - 1)^2 - 7$. С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:

a) $\begin{cases} xy = -6 \\ y = -2x - 3 \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = (x - 1)^2 - 7 \\ y + 2x = -3 \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = (x - 1)^2 - 7 \\ xy = -6 \end{cases}$

Рис. 72

Для решения задачи необходимо определить количество точек пересечения графиков функций, соответствующих уравнениям в каждой системе. Решение основывается на анализе предоставленного графика (Рис. 72).

На рисунке изображены графики трех функций:

• $y = -\frac{6}{x}$ (что эквивалентно уравнению $xy = -6$) — это гипербола, изображенная синей линией.
• $y = -2x - 3$ (что эквивалентно уравнению $y + 2x = -3$) — это прямая, изображенная черной линией.
• $y = (x - 1)^2 - 7$ — это парабола, изображенная красной линией.

Количество решений каждой системы уравнений равно количеству точек пересечения соответствующих им графиков.

а) Система уравнений $\begin{cases} xy = -6 \\ y = -2x - 3 \end{cases}$.
Для нахождения количества решений этой системы необходимо определить, сколько раз пересекаются графики гиперболы $y = -\frac{6}{x}$ (синяя линия) и прямой $y = -2x - 3$ (черная линия).
Из графика видно, что данные линии имеют две общие точки пересечения.Ответ: 2.

б) Система уравнений $\begin{cases} y = (x-1)^2 - 7 \\ y + 2x = -3 \end{cases}$.
Второе уравнение системы $y + 2x = -3$ можно переписать в виде $y = -2x - 3$. Таким образом, необходимо найти количество точек пересечения параболы $y = (x-1)^2 - 7$ (красная линия) и прямой $y = -2x - 3$ (черная линия).
Из графика видно, что парабола и прямая имеют две общие точки пересечения.Ответ: 2.

в) Система уравнений $\begin{cases} y = (x-1)^2 - 7 \\ xy = -6 \end{cases}$.
Здесь мы ищем количество точек пересечения параболы $y = (x-1)^2 - 7$ (красная линия) и гиперболы $y = -\frac{6}{x}$ (синяя линия).
Из графика видно, что парабола и гипербола имеют три общие точки пересечения: одна точка во второй координатной четверти и две точки в четвертой.Ответ: 3.