Номер 3.100, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.100. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 25. Если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.

Обозначим искомое двузначное число как $10x + y$, где $x$ — это цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. При этом $x$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $y$ — от 0 до 9.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет равно $10y + x$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Сумма квадратов цифр равна 25:
   $x^2 + y^2 = 25$
2. Если из исходного числа вычесть 9, получится число с переставленными цифрами:
   $(10x + y) - 9 = 10y + x$

Упростим второе уравнение:

$10x - x + y - 10y = 9$

$9x - 9y = 9$

Разделим обе части уравнения на 9:

$x - y = 1$

Отсюда выразим $x$ через $y$:

$x = y + 1$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы ($x^2 + y^2 = 25$):

$(y + 1)^2 + y^2 = 25$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25$

$2y^2 + 2y + 1 - 25 = 0$

$2y^2 + 2y - 24 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$y^2 + y - 12 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, произведение корней равно -12, а их сумма равна -1. Подходят числа 3 и -4.

$y_1 = 3$

$y_2 = -4$

Поскольку $y$ — это цифра, она не может быть отрицательной. Следовательно, нам подходит только корень $y = 3$.

Теперь найдем $x$, используя ранее выведенную формулу $x = y + 1$:

$x = 3 + 1 = 4$

Таким образом, цифра десятков $x=4$, а цифра единиц $y=3$. Искомое число — 43.

Проверим решение:

• Сумма квадратов цифр: $4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$. (Верно)
• Разность с числом с переставленными цифрами: $43 - 9 = 34$. (Верно)