Номер 3.105, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.105. С помощью графического метода определите, сколько решений имеет система уравнений $\begin{cases}xy = 12, \\y - (x + 5)^2 = -3.\end{cases}$

1. Анализ первого уравнения

Первое уравнение системы: $xy = 12$. Выразим $y$ через $x$: $$ y = \frac{12}{x} $$ Это уравнение задает гиперболу. Поскольку коэффициент $12 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

2. Анализ второго уравнения

Второе уравнение системы: $y - (x+5)^2 = -3$. Выразим $y$: $$ y = (x+5)^2 - 3 $$ Это уравнение задает параболу. Данное уравнение соответствует каноническому виду $y = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины. В нашем случае $a=1$, $h=-5$, $k=-3$. Следовательно, это парабола с вершиной в точке $(-5, -3)$, ветви которой направлены вверх.

3. Построение графиков и нахождение числа решений

Построим графики обеих функций в одной системе координат. Чтобы определить количество точек пересечения, проанализируем их взаимное расположение.

Для этого найдем координаты нескольких ключевых точек для каждого графика:

• Гипербола $y = \frac{12}{x}$:
  • $x=2, y=6$
  • $x=3, y=4$
  • $x=-2, y=-6$
  • $x=-3, y=-4$
  • $x=-4, y=-3$
  • $x=-6, y=-2$
• Парабола $y = (x+5)^2 - 3$:
  • Вершина: $(-5, -3)$
  • $x=-6, y=(-6+5)^2-3 = 1-3 = -2$
  • $x=-4, y=(-4+5)^2-3 = 1-3 = -2$
  • $x=-3, y=(-3+5)^2-3 = 4-3 = 1$
  • $x=-2, y=(-2+5)^2-3 = 9-3 = 6$

Теперь проанализируем точки пересечения:

1. Пересечение в III четверти: Сравнивая вычисленные точки, видим, что при $x=-6$ значения $y$ для обоих графиков совпадают и равны $-2$. Следовательно, точка $(-6, -2)$ является одной из точек пересечения.

Рассмотрим поведение графиков на интервале от $-5$ до $-4$.

• При $x=-5$ (вершина параболы), $y_{парабола} = -3$. Для гиперболы $y_{гипербола} = \frac{12}{-5} = -2.4$. Видно, что гипербола проходит выше параболы.
• При $x=-4$, $y_{парабола} = -2$. Для гиперболы $y_{гипербола} = \frac{12}{-4} = -3$. Теперь парабола проходит выше гиперболы.

Поскольку обе функции непрерывны на данном интервале, а их графики меняют взаимное расположение (один становится выше другого), они должны пересечься в некоторой точке на интервале $(-5, -4)$. Это вторая точка пересечения.

2. Пересечение в I четверти: Ветвь гиперболы в I четверти убывает. Парабола, начиная с $x > -5$, возрастает. При $x=0$ парабола пересекает ось Y в точке $(0, 22)$. При $x>0$ обе функции находятся в I четверти. Рассмотрим поведение функций при $x \to 0^+$. Значение $y$ для гиперболы ($y=12/x$) стремится к $+\infty$. Значение $y$ для параболы стремится к $22$. То есть, вблизи оси Y гипербола находится выше параболы. Однако парабола ($y \sim x^2$) растет быстрее, чем убывает гипербола ($y \sim 1/x$). Например, при $x=1$, $y_{парабола} = (1+5)^2-3 = 33$, а $y_{гипербола} = 12/1 = 12$. Здесь парабола уже выше гиперболы. Так как графики меняют свое взаимное расположение, они должны пересечься в одной точке в I четверти. Это третья точка пересечения.

Таким образом, графики пересекаются в трех точках: две в III четверти и одна в I четверти.

Вывод: Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения их графиков. В данном случае система имеет 3 решения.