Номер 3.109, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.109. Из данных дробей выберите дробь, которую нельзя представить в виде конечной десятичной дроби:

а) $\frac{3}{40}$;

б) $\frac{1}{625}$;

в) $\frac{5}{32}$;

г) $\frac{7}{100}$;

д) $\frac{1}{24}$;

е) $\frac{7}{20}$.

Чтобы обыкновенную дробь можно было представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо, чтобы её знаменатель в несократимом виде не содержал никаких других простых множителей, кроме 2 и 5. Проанализируем каждую из предложенных дробей, все из которых являются несократимыми.

а) $\frac{3}{40}$
Разложим знаменатель 40 на простые множители: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$.
Разложение знаменателя содержит только множители 2 и 5, следовательно, эту дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.
Ответ: можно представить в виде конечной десятичной дроби.

б) $\frac{1}{625}$
Разложим знаменатель 625 на простые множители: $625 = 5^4$.
Разложение знаменателя содержит только множитель 5, следовательно, эту дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.
Ответ: можно представить в виде конечной десятичной дроби.

в) $\frac{5}{32}$
Разложим знаменатель 32 на простые множители: $32 = 2^5$.
Разложение знаменателя содержит только множитель 2, следовательно, эту дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.
Ответ: можно представить в виде конечной десятичной дроби.

г) $\frac{7}{100}$
Разложим знаменатель 100 на простые множители: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
Разложение знаменателя содержит только множители 2 и 5, следовательно, эту дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.
Ответ: можно представить в виде конечной десятичной дроби.

д) $\frac{1}{24}$
Разложим знаменатель 24 на простые множители: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Поскольку в разложении знаменателя присутствует простой множитель 3 (отличный от 2 и 5), данную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Она будет представлена в виде бесконечной периодической дроби.
Ответ: нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

е) $\frac{7}{20}$
Разложим знаменатель 20 на простые множители: $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
Разложение знаменателя содержит только множители 2 и 5, следовательно, эту дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.
Ответ: можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Таким образом, дробь, которую нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, — это $\frac{1}{24}$.