Номер 3.116, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.116. График функции $y=f(x)$ получен из графика функции $g(x)=-5x^2$ сдвигом его на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. А график функции $y=h(x)$ получен из графика функции $p(x)=0,1x^2$ сдвигом его на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Имеют ли общие точки графики функций $y=f(x)$ и $y=h(x)$?

Для того чтобы определить, имеют ли графики функций $y=f(x)$ и $y=h(x)$ общие точки, необходимо сначала найти аналитические выражения для этих функций, а затем проверить, существует ли решение у уравнения $f(x) = h(x)$.

Определение функции $y = f(x)$

График функции $y=f(x)$ получается из графика функции $g(x) = -5x^2$ следующими преобразованиями:

• Сдвиг на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Это соответствует замене аргумента $x$ на $(x-4)$.
• Сдвиг на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. Это соответствует вычитанию 2 из значения всей функции.

Таким образом, уравнение для $f(x)$ имеет вид:

$f(x) = -5(x-4)^2 - 2$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при квадратичном члене ($-5$) отрицательный. Вершина этой параболы находится в точке $(4, -2)$. Следовательно, максимальное значение функции $f(x)$ равно $-2$, а область её значений $E(f) = (-\infty; -2]$.

Определение функции $y = h(x)$

График функции $y=h(x)$ получается из графика функции $p(x) = 0,1x^2$ следующими преобразованиями:

• Сдвиг на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс. Это соответствует замене аргумента $x$ на $(x+3)$.
• Сдвиг на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Это соответствует прибавлению 1 к значению всей функции.

Таким образом, уравнение для $h(x)$ имеет вид:

$h(x) = 0,1(x+3)^2 + 1$

Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при квадратичном члене ($0,1$) положительный. Вершина этой параболы находится в точке $(-3, 1)$. Следовательно, минимальное значение функции $h(x)$ равно $1$, а область её значений $E(h) = [1; +\infty)$.

Анализ на наличие общих точек

Общие точки у графиков существуют только в том случае, если их области значений пересекаются. Сравним области значений полученных функций:

• Для $f(x)$ все значения $y \le -2$.
• Для $h(x)$ все значения $y \ge 1$.

Поскольку максимальное значение функции $f(x)$ (равное -2) меньше минимального значения функции $h(x)$ (равного 1), их области значений не имеют общих точек. Это означает, что не существует такого значения $y$, которое могло бы одновременно являться значением и для $f(x)$, и для $h(x)$.

Имеют ли общие точки графики функций y = f(x) и y = h(x)? Ответ: Нет, графики данных функций не имеют общих точек.