Номер 3.119, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.119. Найдите с помощью графиков функций $f(x) = \sqrt{x}$ и $h(x) = x^2$ корни уравнения $\sqrt{x} = x^2$.

Для решения уравнения $\sqrt{x} = x^2$ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $f(x) = \sqrt{x}$ и $h(x) = x^2$. Корнями уравнения будут абсциссы ($x$) точек пересечения этих графиков.

1. Построение графика функции $f(x) = \sqrt{x}$.

График этой функции — верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. Область определения функции — $x \ge 0$. Построим график по характерным точкам:

• при $x=0$, $y=0$ → точка $(0, 0)$;
• при $x=1$, $y=1$ → точка $(1, 1)$;
• при $x=4$, $y=2$ → точка $(4, 2)$.

2. Построение графика функции $h(x) = x^2$.

График этой функции — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Поскольку для уравнения $\sqrt{x} = x^2$ переменная $x$ должна быть неотрицательной, нас интересует только правая ветвь параболы ($x \ge 0$). Построим её по точкам:

• при $x=0$, $y=0$ → точка $(0, 0)$;
• при $x=1$, $y=1$ → точка $(1, 1)$;
• при $x=2$, $y=4$ → точка $(2, 4)$.

3. Нахождение точек пересечения.

Нанесём оба графика на одну координатную плоскость. Мы увидим, что графики пересекаются в двух точках:

1. В начале координат, точке $(0, 0)$.
2. В точке $(1, 1)$.

Абсциссы этих точек и являются корнями исходного уравнения.

Проверка:
Подставим $x=0$ в уравнение: $\sqrt{0} = 0^2 \implies 0 = 0$. Верно.
Подставим $x=1$ в уравнение: $\sqrt{1} = 1^2 \implies 1 = 1$. Верно.

Ответ: $0; 1$.