Номер 3.97, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.97. Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} 2x - y = 0, \\ xy = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^2, \\ y - x = 6. \end{cases}$

Выполните проверку.

а) Для решения системы уравнений $$ \begin{cases} 2x - y = 0 \\ xy = 8 \end{cases} $$ графическим методом, построим графики каждой функции в одной системе координат.

1. Преобразуем первое уравнение: $2x - y = 0 \Rightarrow y = 2x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат. Для построения найдем две точки:

• При $x=0$, $y = 2 \cdot 0 = 0$. Точка (0, 0).
• При $x=2$, $y = 2 \cdot 2 = 4$. Точка (2, 4).

2. Преобразуем второе уравнение: $xy = 8 \Rightarrow y = \frac{8}{x}$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Для построения составим таблицу значений:

3. Построив графики прямой $y=2x$ и гиперболы $y=\frac{8}{x}$ в одной системе координат, мы находим точки их пересечения. Эти точки и являются решениями системы. Из графиков видно, что они пересекаются в двух точках: $(2, 4)$ и $(-2, -4)$.

Проверка:

Подставим координаты точки $(2, 4)$ в исходную систему:

Равенства верны. Точка $(2, 4)$ является решением.

Подставим координаты точки $(-2, -4)$ в исходную систему:

Равенства верны. Точка $(-2, -4)$ является решением.

Ответ: $(2, 4)$, $(-2, -4)$.

б) Для решения системы уравнений $$ \begin{cases} y = x^2 \\ y - x = 6 \end{cases} $$ графическим методом, построим графики каждой функции в одной системе координат.

1. Первое уравнение $y = x^2$ — это уравнение параболы с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Составим таблицу значений:

2. Преобразуем второе уравнение: $y - x = 6 \Rightarrow y = x + 6$. Это уравнение прямой. Для построения найдем две точки:

• При $x=0$, $y = 0 + 6 = 6$. Точка (0, 6).
• При $x=3$, $y = 3 + 6 = 9$. Точка (3, 9).

3. Построив графики параболы $y=x^2$ и прямой $y=x+6$ в одной системе координат, мы находим точки их пересечения. Из графиков видно, что они пересекаются в двух точках: $(-2, 4)$ и $(3, 9)$.

Проверка:

Подставим координаты точки $(-2, 4)$ в исходную систему:

Равенства верны. Точка $(-2, 4)$ является решением.

Подставим координаты точки $(3, 9)$ в исходную систему:

Равенства верны. Точка $(3, 9)$ является решением.

Ответ: $(-2, 4)$, $(3, 9)$.