Номер 3.60, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.60. Решите графически систему уравнений $\begin{cases} x - 2y = 1, \\ x - y = 2. \end{cases}$

Чтобы доказать неравенство $\sqrt{26} + \sqrt{82} > 14$, оценим каждое слагаемое в левой части.

Рассмотрим число $\sqrt{26}$. Ближайший к 26 полный квадрат — это 25.

Поскольку $26 > 25$, то $\sqrt{26} > \sqrt{25}$.

Следовательно, $\sqrt{26} > 5$.

Рассмотрим число $\sqrt{82}$. Ближайший к 82 полный квадрат — это 81.

Поскольку $82 > 81$, то $\sqrt{82} > \sqrt{81}$.

Следовательно, $\sqrt{82} > 9$.

Теперь сложим полученные неравенства:

$\sqrt{26} + \sqrt{82} > 5 + 9$

$\sqrt{26} + \sqrt{82} > 14$

Неравенство доказано.

Для решения системы уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения и найти их точку пересечения. Координаты этой точки и будут решением системы.

Система уравнений:

$\begin{cases} x - 2y = 1 \\ x - y = 2 \end{cases}$

1. Преобразуем каждое уравнение к виду $y = kx + b$, чтобы построить графики.

Для первого уравнения $x - 2y = 1$:

$-2y = -x + 1$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Это линейная функция, ее график — прямая. Найдем две точки для построения:

• Если $x=1$, то $y = \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2} = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x=3$, то $y = \frac{1}{2}(3) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$. Точка (3, 1).

Для второго уравнения $x - y = 2$:

$-y = -x + 2$

$y = x - 2$

Это также линейная функция. Найдем две точки для построения:

• Если $x=2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Точка (2, 0).
• Если $x=3$, то $y = 3 - 2 = 1$. Точка (3, 1).

2. Построив графики на координатной плоскости, мы увидим, что прямая $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ и прямая $y = x - 2$ пересекаются в одной точке.

Точка пересечения графиков — (3, 1).

3. Проверим, является ли точка (3, 1) решением системы, подставив ее координаты в исходные уравнения:

$\begin{cases} 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1 \\ 3 - 1 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 = 1 \\ 2 = 2 \end{cases}$

Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Условие задачи является неполным, так как в дроби $\frac{a^2 - a - 12}{...}$ отсутствует знаменатель. Для сокращения дроби необходимо знать как числитель, так и знаменатель.

Тем не менее, мы можем выполнить часть решения, разложив числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $a^2 - a - 12 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

$\begin{cases} a_1 + a_2 = 1 \\ a_1 \cdot a_2 = -12 \end{cases}$

Подбором находим корни: $a_1 = 4$ и $a_2 = -3$.

Тогда числитель можно разложить на множители по формуле $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$:

$a^2 - a - 12 = (a - 4)(a + 3)$

Для завершения решения необходимо знать знаменатель. Если бы он содержал множитель $(a-4)$ или $(a+3)$, дробь можно было бы сократить.