Номер 251, страница 293 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

251. Решите двойное неравенство:

а) $ -1 \le 5-2x < 3 $;

б) $ 2 < \frac{5x+1}{3} \le 10 $.

а) Чтобы решить двойное неравенство $-1 \le 5 - 2x < 3$, необходимо выполнить тождественные преобразования над всеми его частями, чтобы в центре осталась только переменная $x$.

1. Исходное неравенство:

$-1 \le 5 - 2x < 3$

2. Вычтем число 5 из всех трех частей неравенства:

$-1 - 5 \le 5 - 2x - 5 < 3 - 5$

$-6 \le -2x < -2$

3. Разделим все три части на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-6}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} > \frac{-2}{-2}$

$3 \ge x > 1$

4. Для удобства восприятия запишем неравенство в порядке возрастания, от меньшего к большему:

$1 < x \le 3$

Решение можно также представить в виде промежутка: $x \in (1, 3]$.

Ответ: $1 < x \le 3$.

б) Решим двойное неравенство $2 < \frac{5x + 1}{3} \le 10$.

1. Исходное неравенство:

$2 < \frac{5x + 1}{3} \le 10$

2. Умножим все три части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$2 \cdot 3 < (\frac{5x + 1}{3}) \cdot 3 \le 10 \cdot 3$

$6 < 5x + 1 \le 30$

3. Вычтем 1 из всех трех частей неравенства:

$6 - 1 < 5x + 1 - 1 \le 30 - 1$

$5 < 5x \le 29$

4. Разделим все три части на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{5}{5} < \frac{5x}{5} \le \frac{29}{5}$

$1 < x \le \frac{29}{5}$

5. В правой части мы получили неправильную дробь. Выделим из нее целую часть, представив ее в виде смешанного числа:

$\frac{29}{5} = 5\frac{4}{5}$

Таким образом, окончательное решение:

$1 < x \le 5\frac{4}{5}$

Решение можно также представить в виде промежутка: $x \in (1, 5\frac{4}{5}]$.

Ответ: $1 < x \le 5\frac{4}{5}$.