Номер 247, страница 292 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

247. Найдите, при каких значениях переменной значение дроби $ \frac{3y-5}{6} $ не больше значения разности дробей $ \frac{3-y}{9} $ и $ \frac{6y-7}{15} $.

Согласно условию задачи, значение дроби $\frac{3y-5}{6}$ не больше значения разности дробей $\frac{3-y}{9}$ и $\frac{6y-7}{15}$. Словосочетание "не больше" означает "меньше или равно" (математический знак $\le$).

Составим неравенство на основе этого условия:

$\frac{3y - 5}{6} \le \frac{3 - y}{9} - \frac{6y - 7}{15}$

Для того чтобы решить это линейное неравенство, необходимо избавиться от дробей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель для чисел 6, 9 и 15. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно 90.

Умножим обе части неравенства на 90. Так как 90 — положительное число, знак неравенства сохранится:

$90 \cdot \frac{3y - 5}{6} \le 90 \cdot \left( \frac{3 - y}{9} - \frac{6y - 7}{15} \right)$

Выполним умножение, сокращая дроби:

$15 \cdot (3y - 5) \le 10 \cdot (3 - y) - 6 \cdot (6y - 7)$

Теперь раскроем скобки:

$45y - 75 \le 30 - 10y - 36y + 42$

Приведем подобные слагаемые в правой части неравенства:

$45y - 75 \le (30 + 42) + (-10y - 36y)$

$45y - 75 \le 72 - 46y$

Перенесем все члены, содержащие переменную $y$, в левую часть, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$45y + 46y \le 72 + 75$

Снова приведем подобные слагаемые:

$91y \le 147$

Чтобы найти $y$, разделим обе части неравенства на 91:

$y \le \frac{147}{91}$

Сократим полученную дробь. Заметим, что и числитель (147), и знаменатель (91) делятся на 7:

$y \le \frac{147 \div 7}{91 \div 7} = \frac{21}{13}$

Мы получили ответ в виде неправильной дроби. Преобразуем его в смешанное число, выделив целую часть:

$\frac{21}{13} = 1 \frac{8}{13}$

Таким образом, неравенство выполняется для всех значений $y$, которые меньше или равны $1 \frac{8}{13}$.

Ответ: $y \le \mathbf{1}\frac{8}{13}$