Номер 242, страница 291 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

242. Функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ заданы на отрезке $[-7; 6]$ графиками (рис. 108). Найдите все значения $x$, при которых верно неравенство $f(x) < g(x)$.

$y = f(x)$

$y = g(x)$

Рис. 108

Для решения неравенства $f(x) < g(x)$ необходимо найти все значения $x$ на отрезке $[-7; 6]$, при которых график функции $y=f(x)$ (изображен черной линией) расположен ниже графика функции $y=g(x)$ (изображен красной линией).

1. Определение точек пересечения. Сначала найдем абсциссы ($x$) точек, в которых графики пересекаются, то есть где $f(x) = g(x)$. Из рисунка видно, что это происходит в трех точках:

• $x = -3$
• $x = 4$
• Третья точка пересечения $x_0$ находится между $x=0$ и $x=1$. При $x=0$ значение $f(0)=1$, а $g(0)=3$, то есть $f(x) < g(x)$. При $x=1$ значение $f(1)\approx 0.7$, а $g(1)=-1$, то есть $f(x) > g(x)$. Это подтверждает, что между 0 и 1 есть точка пересечения. Визуально она находится при $x \approx 0,5$. Для решения будем использовать это значение.

2. Анализ неравенства на интервалах. Точки пересечения $x=-3$, $x=0,5$ и $x=4$ делят заданный отрезок $[-7; 6]$ на четыре интервала. Определим, где выполняется условие $f(x) < g(x)$ (черная линия ниже красной):

• На интервале $[-7, -3)$ график $f(x)$ расположен выше графика $g(x)$.
• На интервале $(-3, 0.5)$ график $f(x)$ расположен ниже графика $g(x)$.
• На интервале $(0.5, 4)$ график $f(x)$ расположен выше графика $g(x)$.
• На интервале $(4, 6]$ график $f(x)$ расположен ниже графика $g(x)$.

3. Формулировка ответа. Объединяем все интервалы, на которых выполняется неравенство $f(x) < g(x)$.

Найдите все значения x, при которых верно неравенство f(x) < g(x). Ответ: $x \in (-3; 0,5) \cup (4; 6]$.