Номер 238, страница 291 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

238. Среди рисунков 107, а–г выберите график нечетной функции.

а) $y$, $x$, $O$, $1$

б) $y$, $x$, $O$, $1$

в) $y$, $x$, $O$, $1$

г) $y$, $x$, $O$, $1$

Рис. 107

Чтобы определить, какой из графиков принадлежит нечетной функции, необходимо вспомнить определение и графическое свойство нечетной функции.

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Геометрически это означает, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки O(0, 0)). То есть, если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка с координатами $(-x_0, -y_0)$ также должна принадлежать этому графику.

Проанализируем каждый из предложенных графиков:

• а) На данном графике изображена парабола, которая симметрична относительно оси ординат ($Oy$). Это является свойством четной функции, для которой выполняется условие $f(-x) = f(x)$. Например, мы видим, что точки $(2, 3)$ и $(-2, 3)$ обе лежат на графике. Для нечетной функции должно было бы выполняться равенство $f(-2) = -f(2)$, то есть $(-2, -3)$ должна быть на графике, что не соответствует действительности.
  Ответ: функция является четной.
• б) Проверим данный график на симметрию относительно начала координат. Возьмем точку, принадлежащую графику, например, $(2, 2)$. Для того чтобы функция была нечетной, точка с координатами $(-2, -2)$ также должна лежать на графике. Однако из графика видно, что при $x = -2$ значение функции $y = -1$. Таким образом, точка $(-2, -1)$ принадлежит графику, а не $(-2, -2)$. Условие нечетности не выполняется. Функция также не является четной, так как несимметрична относительно оси $Oy$.
  Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.
• в) Данный график (гипербола) симметричен относительно начала координат. Это можно проверить по точкам. Например, точка $(1, 1)$ принадлежит графику, и симметричная ей относительно начала координат точка $(-1, -1)$ также принадлежит графику. Аналогично, точка $(2, 0.5)$ находится на графике, и симметричная ей точка $(-2, -0.5)$ также находится на нем. Для любой точки $(x, y)$ на графике, точка $(-x, -y)$ также будет на нем. Это свойство нечетной функции.
  Ответ: функция является нечетной.
• г) Данный график (модуль) симметричен относительно оси ординат ($Oy$), что является свойством четной функции. Например, точки $(3, 3)$ и $(-3, 3)$ обе лежат на графике, что удовлетворяет условию $f(x) = f(-x)$.
  Ответ: функция является четной.

Следовательно, из всех представленных графиков только график на рисунке в) является графиком нечетной функции.