Номер 232, страница 290 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

232. Найдите множество значений функции:

a) $y = x^2 - 8x + 17;$

б) $y = -2(x - 7)^2 + 6;$

в) $y = x^2 + 9;$

г) $y = -(x + 1)^2.$

а) $y = x^2 - 8x + 17$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине, и множество её значений будет ограничено снизу этим значением.

Для нахождения множества значений найдем координаты вершины параболы. Один из способов — выделить полный квадрат:
$y = x^2 - 8x + 17 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 17 = (x-4)^2 - 16 + 17 = (x-4)^2 + 1$.

Выражение $(x-4)^2$ всегда больше или равно нулю для любого действительного значения $x$: $(x-4)^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение функции достигается, когда $(x-4)^2 = 0$, то есть при $x=4$.
Минимальное значение функции равно $y_{min} = 0 + 1 = 1$.

Таким образом, функция может принимать любые значения, начиная от 1 и до бесконечности.
Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

б) $y = -2(x - 7)^2 + 6$

Эта квадратичная функция уже записана в вершинной форме $y = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины.
В данном случае $a = -2$, $h = 7$, $k = 6$.

Так как коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это значит, что функция имеет наибольшее значение в своей вершине.
Вершина параболы находится в точке $(7, 6)$, и наибольшее значение функции равно $y_{max} = 6$.

Аналитически:
$(x-7)^2 \ge 0$
Умножая на -2, меняем знак неравенства: $-2(x-7)^2 \le 0$.
Прибавляя 6 к обеим частям: $-2(x-7)^2 + 6 \le 6$.
То есть, $y \le 6$.

Множество значений функции — это все числа, меньшие или равные 6.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 6]$.

в) $y = x^2 + 9$

Это также квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$), так как коэффициент при $x^2$ положительный. Функция имеет наименьшее значение.
Функцию можно представить в виде $y = (x - 0)^2 + 9$. Вершина параболы находится в точке $(0, 9)$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $x^2 + 9 \ge 9$.
Следовательно, наименьшее значение функции $y_{min} = 9$.

Множество значений функции — это все числа, большие или равные 9.
Ответ: $E(y) = [9; +\infty)$.

г) $y = -(x + 1)^2$

Это квадратичная функция. Коэффициент перед скобкой равен -1, он отрицательный, поэтому ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение.
Функцию можно записать как $y = -1(x - (-1))^2 + 0$. Вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$.

Выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно: $(x+1)^2 \ge 0$.
Умножение на -1 меняет знак неравенства: $-(x+1)^2 \le 0$.
Следовательно, $y \le 0$. Наибольшее значение функции равно $y_{max} = 0$.

Множество значений функции — это все числа, меньшие или равные 0.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0]$.