Номер 225, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

225. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

а) $y = 9 - 5x;$

б) $y = 2x^2 - 5x + 3;$

в) $y = \frac{x-3}{x+2}.$

Промежутки знакопостоянства функции — это такие промежутки из области определения, на которых функция принимает значения только одного знака (либо только положительные, либо только отрицательные). Для нахождения этих промежутков используется метод интервалов.

Это линейная функция. Сначала найдем точку, в которой функция равна нулю (нуль функции). Эта точка разделит числовую ось на два промежутка.

1. Найдем нуль функции:

$9 - 5x = 0$

$5x = 9$

$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$

2. Отметим точку $x = 1\frac{4}{5}$ на числовой прямой. Она делит прямую на два интервала: $(-\infty; 1\frac{4}{5})$ и $(1\frac{4}{5}; +\infty)$.

3. Определим знак функции на каждом интервале, выбрав по одной пробной точке из каждого:

• Для интервала $(-\infty; 1\frac{4}{5})$ возьмем $x=0$: $y(0) = 9 - 5 \cdot 0 = 9$. Так как $9 > 0$, функция положительна на этом интервале.
• Для интервала $(1\frac{4}{5}; +\infty)$ возьмем $x=2$: $y(2) = 9 - 5 \cdot 2 = 9 - 10 = -1$. Так как $-1 < 0$, функция отрицательна на этом интервале.

Ответ: функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; 1\frac{4}{5})$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (1\frac{4}{5}; +\infty)$.

Это квадратичная функция. Найдем ее нули, решив соответствующее квадратное уравнение.

1. Найдем нули функции:

$2x^2 - 5x + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

2. Нули функции $x=1$ и $x=1\frac{1}{2}$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 1\frac{1}{2})$ и $(1\frac{1}{2}; +\infty)$.

3. График функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Это означает, что функция будет положительна по краям (вне корней) и отрицательна между корнями.

Проверим знаки на интервалах:

• Для интервала $(-\infty; 1)$ возьмем $x=0$: $y(0) = 2(0)^2 - 5(0) + 3 = 3 > 0$.
• Для интервала $(1; 1\frac{1}{2})$ возьмем $x=1.25$: $y(1.25) = 2(1.25)^2 - 5(1.25) + 3 = 2(1.5625) - 6.25 + 3 = 3.125 - 6.25 + 3 = -0.125 < 0$.
• Для интервала $(1\frac{1}{2}; +\infty)$ возьмем $x=2$: $y(2) = 2(2)^2 - 5(2) + 3 = 8 - 10 + 3 = 1 > 0$.

Ответ: функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; 1) \cup (1\frac{1}{2}; +\infty)$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (1; 1\frac{1}{2})$.

Это дробно-рациональная функция. Ее знак зависит от знаков числителя и знаменателя. Используем метод интервалов.

1. Найдем нуль функции (когда числитель равен нулю):

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

2. Найдем точку, в которой функция не определена (когда знаменатель равен нулю):

$x + 2 = 0 \implies x = -2$

3. Точки $x=-2$ (точка разрыва) и $x=3$ (нуль функции) делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

4. Определим знак функции на каждом интервале:

• Для интервала $(-\infty; -2)$ возьмем $x=-3$: $y(-3) = \frac{-3-3}{-3+2} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$.
• Для интервала $(-2; 3)$ возьмем $x=0$: $y(0) = \frac{0-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0$.
• Для интервала $(3; +\infty)$ возьмем $x=4$: $y(4) = \frac{4-3}{4+2} = \frac{1}{6} > 0$.

Ответ: функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-2; 3)$.