Номер 226, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

226. а) В одной системе координат постройте графики функций $y = \frac{8}{x}$, $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x$.

б) С помощью построенных графиков решите уравнение:

1) $\frac{8}{x} = \sqrt{x}$; 2) $\frac{8}{x} = 2x$.

в) С помощью построенных графиков решите неравенство:

1) $\frac{8}{x} \ge \sqrt{x}$; 2) $\frac{8}{x} > 2x$.

а) Для построения графиков функций $y = \frac{8}{x}$, $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x$ в одной системе координат, определим их свойства и найдем координаты нескольких точек для каждой функции.

1. График функции $y = \frac{8}{x}$

Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=8 > 0$. Ось абсцисс ($y=0$) и ось ординат ($x=0$) являются асимптотами графика. Составим таблицу значений:

2. График функции $y = \sqrt{x}$

Это ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения функции: $x \ge 0$. График начинается в точке (0,0) и возрастает в I координатной четверти. Составим таблицу значений:

3. График функции $y = 2x$

Это прямая линия, проходящая через начало координат (0,0) и точку (2,4). График расположен в I и III координатных четвертях.

При построении графиков в одной системе координат мы увидим их взаимное расположение и точки пересечения.

б) Решения уравнений находим как абсциссы (координаты $x$) точек пересечения соответствующих графиков.

1) $\frac{8}{x} = \sqrt{x}$
Находим точку пересечения графиков $y = \frac{8}{x}$ и $y = \sqrt{x}$. Из таблиц значений и по построенным графикам видно, что они пересекаются в точке $(4, 2)$. Абсцисса этой точки равна 4. Ответ: $x = \textbf{4}$.

2) $\frac{8}{x} = 2x$
Находим точки пересечения графиков $y = \frac{8}{x}$ и $y = 2x$. Графики пересекаются в двух точках: $(2, 4)$ в I четверти и $(-2, -4)$ в III четверти. Абсциссы этих точек равны 2 и -2. Ответ: $x_1 = \textbf{2}$, $x_2 = -\textbf{2}$.

в) Решения неравенств — это интервалы по оси $x$, на которых график одной функции расположен выше или ниже графика другой функции в соответствии со знаком неравенства.

1) $\frac{8}{x} \ge \sqrt{x}$
Ищем значения $x$, при которых график функции $y = \frac{8}{x}$ находится не ниже (выше или на том же уровне) графика функции $y = \sqrt{x}$. Область допустимых значений для данного неравенства — $x > 0$. Графики пересекаются при $x=4$. На интервале $(0, 4)$ ветвь гиперболы $y=\frac{8}{x}$ расположена выше графика $y=\sqrt{x}$. В точке $x=4$ их значения равны. Таким образом, решением неравенства является промежуток $(0, 4]$. Ответ: $x \in (0; \textbf{4}]$.

2) $\frac{8}{x} > 2x$
Ищем значения $x$, при которых график функции $y = \frac{8}{x}$ находится строго выше графика функции $y = 2x$. Точки пересечения этих графиков $x=2$ и $x=-2$.
- При $x>0$ (I четверть), график $y=\frac{8}{x}$ находится выше графика $y=2x$ на интервале от $0$ до точки их пересечения $x=2$. То есть при $x \in (0, 2)$.
- При $x<0$ (III четверть), график $y=\frac{8}{x}$ находится выше графика $y=2x$ левее точки их пересечения $x=-2$. То есть при $x \in (-\infty, -2)$.
Объединяя эти два интервала, получаем итоговое решение. Ответ: $x \in (-\infty; -\textbf{2}) \cup (0; \textbf{2})$.