Номер 223, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

223. Найдите область определения функции:

а) $f(x) = \frac{1}{x+5}$;

б) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{6-x}}$;

в) $y = \sqrt{x^2 - 36}$;

г) $f(x) = \sqrt{x-5} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 5x}}$.

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (т.е. можно вычислить ее значение).

а) $f(x) = \frac{1}{x+5}$

Данная функция представляет собой дробь. Основное ограничение для дробей — знаменатель не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключим их из области определения:

$x + 5 = 0$

$x = -5$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x = -5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

б) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{6-x}}$

В этой функции аргумент $x$ находится под знаком квадратного корня, который, в свою очередь, стоит в знаменателе. Это накладывает два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $6 - x \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{6-x} \neq 0$, что эквивалентно $6-x \neq 0$.

Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.

Решим строгое неравенство:

$6 - x > 0$

$-x > -6$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < 6$

Область определения функции – это все действительные числа, которые меньше 6.

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

в) $y = \sqrt{x^2 - 36}$

Функция содержит квадратный корень. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Составим и решим неравенство:

$x^2 - 36 \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 36 = 0$.

$x^2 = 36$

$x_1 = 6$, $x_2 = -6$

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 6)$ и $(6; +\infty)$. Определим знак выражения $x^2 - 36$ в каждом интервале.

• Для $x < -6$ (например, $x=-10$): $(-10)^2 - 36 = 100 - 36 = 64 > 0$.
• Для $-6 < x < 6$ (например, $x=0$): $0^2 - 36 = -36 < 0$.
• Для $x > 6$ (например, $x=10$): $10^2 - 36 = 100 - 36 = 64 > 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение неотрицательно. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни $x=6$ и $x=-6$ также включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$.

г) $f(x) = \sqrt{x-5} + \frac{1}{\sqrt{x^2+5x}}$

Функция является суммой двух слагаемых, поэтому для нахождения ее области определения необходимо, чтобы оба слагаемых были определены. Это означает, что нужно найти значения $x$, удовлетворяющие системе неравенств, вытекающих из ограничений для каждого слагаемого.

1. Для слагаемого $\sqrt{x-5}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$

2. Для слагаемого $\frac{1}{\sqrt{x^2+5x}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$x^2 + 5x > 0$

Решим второе неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $x^2 + 5x = 0$:

$x(x+5) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = -5$

Так как это парабола с ветвями вверх, выражение $x(x+5)$ положительно вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty)$.

Теперь найдем общее решение для системы неравенств:

$\begin{cases} x \ge 5 \\ x \in (-\infty; -5) \cup (0; +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств являются все числа, которые больше или равны 5. Этот промежуток $[5; +\infty)$ полностью содержится в промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: $x \in [5; +\infty)$.