Номер 227, страница 289 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

227. В арифметической прогрессии $(a_n)$ известно, что $a_1=8$; $d=3$. Найдите количество членов этой прогрессии, являющихся двузначными числами.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию, первый член прогрессии $a_1 = 8$ и разность $d = 3$.

Мы ищем количество членов прогрессии, которые являются двузначными числами. Это означает, что значение члена прогрессии $a_n$ должно находиться в диапазоне от 10 до 99 включительно. Запишем это в виде двойного неравенства:

$$10 \le a_n \le 99$$

Подставим в неравенство формулу n-го члена с известными значениями $a_1$ и $d$:

$$10 \le 8 + (n-1) \cdot 3 \le 99$$

Теперь решим это неравенство относительно $n$, чтобы найти номера подходящих членов прогрессии.

1. Вычтем 8 из каждой части неравенства:

$$10 - 8 \le 3(n-1) \le 99 - 8$$

$$2 \le 3(n-1) \le 91$$

2. Разделим каждую часть неравенства на 3:

$$\frac{2}{3} \le n-1 \le \frac{91}{3}$$

3. Прибавим 1 к каждой части неравенства:

$$\frac{2}{3} + 1 \le n \le \frac{91}{3} + 1$$

$$\frac{5}{3} \le n \le \frac{94}{3}$$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ может быть только натуральным числом, нам нужно найти диапазон целых чисел, удовлетворяющих этому неравенству. Для этого преобразуем дроби в смешанные числа. Целая часть неправильной дроби $\frac{94}{3}$ равна 31.

$$1\frac{2}{3} \le n \le 31\frac{1}{3}$$

Из этого неравенства следует, что наименьший возможный номер члена $n$ — это 2, а наибольший — 31.

Чтобы найти общее количество таких членов, вычислим количество целых чисел в диапазоне от 2 до 31 включительно:

$$31 - 2 + 1 = 30$$

Ответ: 30