Номер 234, страница 290 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

234. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

a) $y = -2x^2 + 8x - 3$;

б) $y = (x - 7)^2$;

в) $y = (4 - x)(x + 3)$.

а) Для функции $y = -2x^2 + 8x - 3$ мы имеем дело с квадратичной функцией, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Это означает, что функция возрастает на промежутке до вершины параболы и убывает на промежутке после неё.
Найдём абсциссу (координату x) вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.
Следовательно, промежуток возрастания функции — $(-\infty; 2]$, а промежуток убывания — $[2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$ и убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

б) Функция $y = (x - 7)^2$ также является квадратичной, и её график — парабола. Это уравнение уже записано в вершинной форме $y = a(x-h)^2+k$.
Отсюда видно, что коэффициент $a=1$ (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины $h=7$.
Для параболы с ветвями вверх функция сначала убывает до вершины, а затем возрастает.
Таким образом, промежуток убывания функции — $(-\infty; 7]$, а промежуток возрастания — $[7; +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 7]$ и возрастает на промежутке $[7; +\infty)$.

в) Рассмотрим функцию $y = (4 - x)(x + 3)$. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, приведём её к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$ путём раскрытия скобок:
$y = 4 \cdot x + 4 \cdot 3 - x \cdot x - x \cdot 3 = 4x + 12 - x^2 - 3x = -x^2 + x + 12$.
Это парабола с коэффициентом $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Следовательно, функция возрастает до вершины и убывает после неё. Найдём абсциссу вершины $x_0$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, промежуток возрастания функции — $(-\infty; \frac{1}{2}]$, а промежуток убывания — $[\frac{1}{2}; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; \frac{1}{2}]$ и убывает на промежутке $[\frac{1}{2}; +\infty)$.