Номер 237, страница 290 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

237. В одной системе координат постройте графики функций $y = x^2 - 4x + 3$ и $y = -2x + 11$, найдите координаты их общих точек.

Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формуле $x_v = - \frac{b}{2a}$:

$x_v = - \frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

Подставим $x_v$ в уравнение функции, чтобы найти $y_v$:

$y_v = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью OY ($x=0$): $y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения $(0, 3)$.
• С осью OX ($y=0$): $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1, x_2 = 3$. Точки пересечения $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Для точности построения найдем еще несколько точек. Например, точку, симметричную точке $(0, 3)$ относительно оси симметрии параболы $x=2$. Это будет точка $(4, 3)$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветвями вверх, проходящая через точки $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$ и $(4, 3)$.

Графиком данной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек.

1. Найдем точку пересечения с осью OY (при $x=0$):

$y = -2(0) + 11 = 11$. Точка $(0, 11)$.

2. Найдем точку пересечения с осью OX (при $y=0$):

$0 = -2x + 11 \Rightarrow 2x = 11 \Rightarrow x = 5.5$. Точка $(5.5, 0)$.

Для удобства построения можно найти еще одну точку с целочисленными координатами, например, при $x=4$:

$y = -2(4) + 11 = -8 + 11 = 3$. Точка $(4, 3)$.

Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 11)$ и $(4, 3)$.

Координаты общих точек (точек пересечения) удовлетворяют обоим уравнениям. Чтобы их найти, приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 4x + 3 = -2x + 11$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 2x + 3 - 11 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = -2x + 11$:

• Если $x_1 = 4$, то $y_1 = -2(4) + 11 = -8 + 11 = 3$.
• Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2(-2) + 11 = 4 + 11 = 15$.

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: Координаты общих точек: $(-2, 15)$ и $(4, 3)$.