Номер 37, страница 13 - гдз по химии 9 класс сборник задач Хвалюк, Резяпкин

37. Природный кремний состоит из трёх изотопов: $^\text{30}\text{Si}$, $^\text{29}\text{Si}$, $^\text{28}\text{Si}$. Массовая доля самого лёгкого из них равна 92,20 %.

Вычислите массовые доли изотопов $^\text{30}\text{Si}$, $^\text{29}\text{Si}$ в образце природного кремния.

Дано:

Природный кремний (Si) состоит из трёх изотопов: $^{30}\text{Si}$, $^{29}\text{Si}$, $^{28}\text{Si}$.

Массовая доля самого легкого изотопа $^{28}\text{Si}$ (в данном контексте — атомная доля или распространенность) составляет $w(^{28}\text{Si}) = 92,20 \% = 0,9220$.

Средняя относительная атомная масса кремния (из Периодической таблицы Д.И. Менделеева) $A_r(\text{Si}) = 28,0855$ а.е.м.

Найти:

Массовые доли (распространенности) изотопов $w(^{29}\text{Si})$ и $w(^{30}\text{Si})$.

Решение:

В задачах на изотопный состав под "массовой долей" часто подразумевают "атомную долю" или распространенность изотопа в природной смеси. Сумма атомных долей всех изотопов элемента равна 1 (или 100%).

Пусть $x(^{28}\text{Si})$, $x(^{29}\text{Si})$ и $x(^{30}\text{Si})$ — атомные доли (распространенности) изотопов кремния. Тогда выполняется равенство:

$x(^{28}\text{Si}) + x(^{29}\text{Si}) + x(^{30}\text{Si}) = 1$

Поскольку доля изотопа $^{28}\text{Si}$ известна и равна $0,9220$, мы можем найти суммарную долю двух других изотопов:

$x(^{29}\text{Si}) + x(^{30}\text{Si}) = 1 - x(^{28}\text{Si}) = 1 - 0,9220 = 0,0780$

Средняя относительная атомная масса элемента вычисляется как средневзвешенное значение масс его изотопов с учетом их распространенности. В школьном курсе химии для упрощения расчетов относительные атомные массы изотопов принимают равными их массовым числам.

$M_r(^{28}\text{Si}) \approx 28$ а.е.м.

$M_r(^{29}\text{Si}) \approx 29$ а.е.м.

$M_r(^{30}\text{Si}) \approx 30$ а.е.м.

Формула для средней атомной массы:

$A_r(\text{Si}) = x(^{28}\text{Si}) \cdot M_r(^{28}\text{Si}) + x(^{29}\text{Si}) \cdot M_r(^{29}\text{Si}) + x(^{30}\text{Si}) \cdot M_r(^{30}\text{Si})$

Обозначим доли неизвестных изотопов как $x_{29} = x(^{29}\text{Si})$ и $x_{30} = x(^{30}\text{Si})$. Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $x_{29} + x_{30} = 0,0780$

2) $28,0855 = 0,9220 \cdot 28 + x_{29} \cdot 29 + x_{30} \cdot 30$

Упростим второе уравнение:

$28,0855 = 25,816 + 29x_{29} + 30x_{30}$

$29x_{29} + 30x_{30} = 28,0855 - 25,816$

$29x_{29} + 30x_{30} = 2,2695$

Теперь решим полученную систему. Из первого уравнения выразим $x_{30}$:

$x_{30} = 0,0780 - x_{29}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$29x_{29} + 30(0,0780 - x_{29}) = 2,2695$

$29x_{29} + 2,34 - 30x_{29} = 2,2695$

$-x_{29} = 2,2695 - 2,34$

$-x_{29} = -0,0705$

$x_{29} = 0,0705$

Теперь, зная $x_{29}$, найдем $x_{30}$:

$x_{30} = 0,0780 - 0,0705 = 0,0075$

Переведем полученные доли в проценты:

Доля $^{29}\text{Si}$ составляет $0,0705 \cdot 100\% = 7,05\%$.

Доля $^{30}\text{Si}$ составляет $0,0075 \cdot 100\% = 0,75\%$.

Ответ: Массовая доля изотопа $^{29}\text{Si}$ составляет $7,05\%$, а массовая доля изотопа $^{30}\text{Si}$ — $0,75\%$.