Номер 657, страница 121 - гдз по химии 9 класс сборник задач Хвалюк, Резяпкин

657. Золото является очень пластичным металлом. Его можно раскатать в фольгу толщиной около $1,0 \text{ мкм}$. Приняв, что атом золота имеет форму шара, рассчитайте толщину такой фольги в атомах золота. Плотность золота равна $19,3 \text{ г}/\text{см}^3$.

Дано:

Толщина фольги $h = 1,0 \text{ мкм}$

Плотность золота $\rho = 19,3 \text{ г/см}^3$

Молярная масса золота (Au) $M = 197 \text{ г/моль}$ (справочное значение)

Число Авогадро $N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$ (справочное значение)

Переведем данные в систему СИ:

$h = 1,0 \text{ мкм} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

$\rho = 19,3 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 19,3 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 19,3 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 19300 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$M = 197 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 0,197 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Найти:

Толщину фольги в атомах золота $N$.

Решение:

Для того чтобы рассчитать толщину фольги в атомах золота, необходимо общую толщину фольги $h$ разделить на диаметр одного атома золота $d$.

$N = \frac{h}{d}$

Для определения диаметра атома золота $d$ воспользуемся известными значениями плотности, молярной массы и числа Авогадро. Сначала найдем объем, который в среднем приходится на один атом золота в кристаллической решетке $V_a$.

Объем одного моля золота (молярный объем $V_m$) вычисляется по формуле:

$V_m = \frac{M}{\rho}$

В одном моле любого вещества содержится $N_A$ частиц (атомов). Следовательно, объем одного атома можно найти, разделив молярный объем на число Авогадро:

$V_a = \frac{V_m}{N_A} = \frac{M}{\rho \cdot N_A}$

В условии задачи сказано принять, что атом золота имеет форму шара. Объем шара выражается через его диаметр $d$ по формуле:

$V_a = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{6}\pi d^3$

Приравняв два выражения для объема атома, получим уравнение, из которого можно выразить диаметр $d$:

$\frac{1}{6}\pi d^3 = \frac{M}{\rho \cdot N_A}$

$d^3 = \frac{6M}{\pi \cdot \rho \cdot N_A}$

$d = \sqrt[3]{\frac{6M}{\pi \cdot \rho \cdot N_A}}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчеты:

$d = \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 0,197 \text{ кг/моль}}{3,1416 \cdot 19300 \text{ кг/м}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}} \approx \sqrt[3]{\frac{1,182}{3,651 \cdot 10^{28}}} \approx \sqrt[3]{3,237 \cdot 10^{-29}} \text{ м}$

$d \approx 3,187 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Теперь, зная диаметр одного атома, мы можем рассчитать, сколько атомных слоев укладывается в толщину фольги $h$:

$N = \frac{h}{d} = \frac{1,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{3,187 \cdot 10^{-10} \text{ м}} \approx 0,3138 \cdot 10^4 \approx 3138$

Таким образом, толщина фольги составляет примерно 3138 атомных слоев.

Ответ: толщина фольги составляет примерно 3138 атомов золота.