Номер 27.10, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.10. Запишите уравнение касательной к графику функции $f(x)=\sqrt{4x^2+3x}$ в точке с координатами $(-1; 1)$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет общий вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию задачи, дана функция $f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x}$ и точка касания с координатами $(-1; 1)$. Отсюда следует, что $x_0 = -1$ и $f(x_0) = 1$.

1. Нахождение производной функции.
Для нахождения производной $f'(x)$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции, так как функция является композицией квадратного корня и многочлена.
$f'(x) = (\sqrt{4x^2 + 3x})' = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 + 3x}} \cdot (4x^2 + 3x)' = \frac{8x + 3}{2\sqrt{4x^2 + 3x}}$.

2. Нахождение значения производной в точке касания.
Значение производной в точке $x_0 = -1$ равно угловому коэффициенту $k$ искомой касательной. Подставим $x_0 = -1$ в выражение для производной:
$k = f'(-1) = \frac{8(-1) + 3}{2\sqrt{4(-1)^2 + 3(-1)}} = \frac{-8 + 3}{2\sqrt{4 - 3}} = \frac{-5}{2\sqrt{1}} = -\frac{5}{2}$.
Ответ: Угловой коэффициент касательной равен $-\frac{5}{2}$, что в виде смешанной дроби составляет $-2\frac{1}{2}$.

3. Составление уравнения касательной.
Теперь подставим все известные значения: $x_0 = -1$, $f(x_0) = 1$ и $k = f'(-1) = -\frac{5}{2}$ в общую формулу уравнения касательной.
$y = f(x_0) + k(x - x_0)$
$y = 1 + (-\frac{5}{2})(x - (-1))$
$y = 1 - \frac{5}{2}(x + 1)$
$y = 1 - \frac{5}{2}x - \frac{5}{2}$
$y = -\frac{5}{2}x + \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$
$y = -\frac{5}{2}x - \frac{3}{2}$.
Запишем коэффициенты в виде смешанных дробей, выделив целую часть.
Ответ: $y = -2\frac{1}{2}x - 1\frac{1}{2}$.