Номер 27.13, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.13. Через точку (2; -10) проходят две касательные к графику функции $y = 2x^2 - 8x$. Чему равно произведение абсцисс точек касания?

Пусть $(x_0, y_0)$ — точка касания. Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = 2x^2 - 8x$.
Найдем её производную:
$f'(x) = (2x^2 - 8x)' = 4x - 8$

Теперь запишем уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$:
$y_0 = f(x_0) = 2x_0^2 - 8x_0$
$f'(x_0) = 4x_0 - 8$
Подставляем в общую формулу:
$y = (2x_0^2 - 8x_0) + (4x_0 - 8)(x - x_0)$

По условию задачи, касательные проходят через точку с координатами $(2; -10)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению касательной. Подставим $x=2$ и $y=-10$ в полученное уравнение:
$-10 = (2x_0^2 - 8x_0) + (4x_0 - 8)(2 - x_0)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$:
$-10 = 2x_0^2 - 8x_0 + 8x_0 - 4x_0^2 - 16 + 8x_0$
Сгруппируем подобные члены:
$-10 = (2x_0^2 - 4x_0^2) + (-8x_0 + 8x_0 + 8x_0) - 16$
$-10 = -2x_0^2 + 8x_0 - 16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x_0^2 - 8x_0 + 16 - 10 = 0$
$2x_0^2 - 8x_0 + 6 = 0$

Корнями этого квадратного уравнения являются абсциссы двух точек касания. Обозначим их $x_1$ и $x_2$. Нам нужно найти их произведение. Согласно теореме Виета для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$, произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно $c/a$.
Для нашего уравнения $2x_0^2 - 8x_0 + 6 = 0$ коэффициенты равны: $a=2$, $b=-8$, $c=6$.
Произведение абсцисс точек касания:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{6}{2} = 3$

Чему равно произведение абсцисс точек касания? Ответ: 3