Номер 27.20, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.20. Изобразите график какой-нибудь функции $y = f(x)$, для которой:

a) область определения функции — промежуток $[-5; 4];

б) множество значений функции — промежуток $[-2; 5];

в) $f'(x) < 0$ при $x \in (-5; -1)$; $f'(x) > 0$ при $x \in (-1; 4)$; $f'(-1) = 0;

г) $f(x) < 0$ только при $x \in (-4; 2)$; $f(-5) = 2.$

Проанализируем каждое условие для построения графика функции $y = f(x)$.

а) область определения функции — промежуток [-5; 4];
Это условие означает, что график функции существует только для значений аргумента $x$ в диапазоне от -5 до 4 включительно. То есть, у графика есть начальная точка при $x = -5$ и конечная точка при $x = 4$.
Ответ: график функции будет расположен между вертикальными линиями $x=-5$ и $x=4$.

б) множество значений функции — промежуток [-2; 5];
Это условие означает, что все значения функции $y$ находятся в диапазоне от -2 до 5 включительно. Самая низкая точка на графике будет иметь координату $y = -2$ (это глобальный минимум функции), а самая высокая точка — координату $y = 5$ (глобальный максимум).
Ответ: наименьшее значение функции равно -2, а наибольшее — 5.

в) $f'(x) < 0$ при $x \in (-5; -1)$; $f'(x) > 0$ при $x \in (-1; 4)$; $f'(-1) = 0$;
Условие $f'(x) < 0$ на интервале $(-5; -1)$ говорит о том, что на этом промежутке функция убывает. Условие $f'(x) > 0$ на интервале $(-1; 4)$ говорит о том, что на этом промежутке функция возрастает. Условие $f'(-1) = 0$ указывает на наличие стационарной (критической) точки при $x = -1$. Так как производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку, $x = -1$ является точкой локального минимума.
Ответ: функция убывает на интервале $(-5; -1)$ и возрастает на интервале $(-1; 4)$, имея точку минимума при $x=-1$.

г) $f(x) < 0$ только при $x \in (-4; 2)$; $f(-5) = 2$.
Условие $f(x) < 0$ (значения функции отрицательны) только на интервале $(-4; 2)$ означает, что график функции находится ниже оси Ox именно на этом интервале. Следовательно, в точках $x = -4$ и $x = 2$ график пересекает ось Ox (нули функции). То есть, $f(-4) = 0$ и $f(2) = 0$. На остальных участках области определения, а именно на $[-5; -4]$ и $[2; 4]$, функция неотрицательна ($f(x) \ge 0$). Условие $f(-5) = 2$ задает конкретную точку на графике — его начало.
Ответ: нули функции — это $x=-4$ и $x=2$; начальная точка графика — $(-5; 2)$.

Сводный анализ и описание графика

Соберем все полученные данные воедино, чтобы определить ключевые точки графика и его форму.

• Из условий а) и г) мы знаем, что график начинается в точке $A(-5; 2)$.
• Из условий б) и в) следует, что в точке минимума $x = -1$ функция достигает своего наименьшего значения, равного -2. Таким образом, мы получаем точку минимума $C(-1; -2)$.
• Из условия г) мы знаем, что график пересекает ось Ox в точках $B(-4; 0)$ и $D(2; 0)$.
• Из условия б) мы знаем, что наибольшее значение функции равно 5. Функция возрастает на интервале $(-1; 4)$. Поскольку $f(-5) = 2$, а в точке минимума $f(-1) = -2$, наибольшее значение должно достигаться на правом конце области определения, при $x=4$. Таким образом, $f(4)=5$. Это конечная точка графика и одновременно точка глобального максимума $E(4; 5)$.

Таким образом, у нас есть пять ключевых точек для построения эскиза графика:

• Начальная точка: $A(-5; 2)$
• Пересечение с осью Ox: $B(-4; 0)$
• Точка минимума: $C(-1; -2)$
• Пересечение с осью Ox: $D(2; 0)$
• Конечная точка (и точка максимума): $E(4; 5)$

Эскиз графика:

Для построения графика нужно нарисовать гладкую кривую, которая:

1. Начинается в точке $A(-5; 2)$.
2. Убывает, проходя через точку $B(-4; 0)$ на оси Ox, и достигает своего минимума в точке $C(-1; -2)$. В этой точке касательная к графику горизонтальна.
3. После точки минимума начинает возрастать, пересекает ось Ox в точке $D(2; 0)$ и продолжает расти до конечной точки $E(4; 5)$.

Такой график удовлетворяет всем перечисленным в задаче условиям.