Номер 27.27, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.27. Найдите точки экстремума функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 6x + 1.$

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать эти точки на предмет максимума или минимума.

1. Исходная функция:

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 6x + 1$

2. Найдем первую производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 6x + 1)' = 3x^2 - 12x + 6$

3. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$3x^2 - 12x + 6 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 - 4x + 2 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

Таким образом, мы получили две критические точки: $x_1 = 2 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{2}$.

5. Чтобы определить, являются ли эти точки точками максимума или минимума, найдем вторую производную:

$f''(x) = (3x^2 - 12x + 6)' = 6x - 12$

Теперь проверим знак второй производной в каждой из критических точек:

• Для точки $x_1 = 2 - \sqrt{2}$:

  $f''(2 - \sqrt{2}) = 6(2 - \sqrt{2}) - 12 = 12 - 6\sqrt{2} - 12 = -6\sqrt{2}$

  Поскольку $f''(x_1) < 0$, точка $x = 2 - \sqrt{2}$ является точкой максимума.

• Для точки $x_2 = 2 + \sqrt{2}$:

  $f''(2 + \sqrt{2}) = 6(2 + \sqrt{2}) - 12 = 12 + 6\sqrt{2} - 12 = 6\sqrt{2}$

  Поскольку $f''(x_2) > 0$, точка $x = 2 + \sqrt{2}$ является точкой минимума.

Точка максимума Ответ: $2 - \sqrt{2}$.

Точка минимума Ответ: $2 + \sqrt{2}$.