Номер 27.33, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.33. Найдите все значения $m$, при которых функция $f(x)=(9-8m^2-m^4)x^3+5x$ возрастает на всей числовой прямой.

Для того чтобы функция $f(x)$ возрастала на всей числовой прямой, необходимо и достаточно, чтобы её производная $f'(x)$ была неотрицательной для всех действительных значений $x$, то есть $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Данная функция: $f(x) = (9 - 8m^2 - m^4)x^3 + 5x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = ((9 - 8m^2 - m^4)x^3 + 5x)' = 3(9 - 8m^2 - m^4)x^2 + 5$.

Теперь наложим условие $f'(x) \ge 0$: $3(9 - 8m^2 - m^4)x^2 + 5 \ge 0$.

Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Выражение $f'(x)$ является квадратичной функцией от $x$ вида $Ax^2+C$, где $A = 3(9 - 8m^2 - m^4)$ и $C = 5$.

Рассмотрим два случая для коэффициента $A$.

1. Если коэффициент при $x^2$ неотрицателен, то есть $A \ge 0$, то $A x^2 \ge 0$ для любого $x$, так как $x^2 \ge 0$. Тогда $f'(x) = Ax^2 + 5 \ge 0 + 5 = 5$. Неравенство $f'(x) \ge 0$ выполняется для всех $x$. Найдем значения $m$, при которых $A \ge 0$: $3(9 - 8m^2 - m^4) \ge 0$ $9 - 8m^2 - m^4 \ge 0$ Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства: $m^4 + 8m^2 - 9 \le 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = m^2$. Так как $m^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$. Неравенство принимает вид: $t^2 + 8t - 9 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 + 8t - 9 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -9$. Так как ветви параболы $y = t^2 + 8t - 9$ направлены вверх, неравенство $t^2 + 8t - 9 \le 0$ выполняется при $t \in [-9, 1]$.

Учитывая условие $t \ge 0$, получаем $0 \le t \le 1$. Вернемся к переменной $m$: $0 \le m^2 \le 1$. Неравенство $m^2 \ge 0$ выполняется всегда. Неравенство $m^2 \le 1$ равносильно $|m| \le 1$, что дает $-1 \le m \le 1$.

2. Если коэффициент при $x^2$ отрицателен, то есть $A < 0$, то график функции $y = Ax^2 + 5$ — парабола с ветвями, направленными вниз. Ее вершина находится в точке $(0, 5)$. При достаточно больших по модулю значениях $x$, значения функции $y$ становятся отрицательными. Следовательно, неравенство $Ax^2 + 5 \ge 0$ не может выполняться для всех $x$.

Таким образом, единственным условием, при котором функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой, является $m \in [-1, 1]$.

Ответ: $m \in [-1, 1]$.