Номер 27.34, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.34. Функция $y = f(x)$ четная. Известно, что $x = 5$ является точкой максимума данной функции, а $x = -3$ — точкой минимума. Имеет ли эта функция другие точки экстремума? Если да, то какие? Можно ли ответить на этот вопрос, если функция $y = f(x)$ является нечетной?

Имеет ли эта функция другие точки экстремума? Если да, то какие?

По условию, функция $y=f(x)$ является четной. По определению, для четной функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Вследствие этого свойства симметрии, если точка $x_0$ является точкой экстремума (максимума или минимума), то и точка $-x_0$ также является точкой экстремума, причем того же типа.

Поскольку $x=5$ является точкой максимума, то и точка $x=-5$ также является точкой максимума.

Поскольку $x=-3$ является точкой минимума, то и точка $x=-(-3)=3$ также является точкой минимума.

Ответ: да, эта функция имеет другие точки экстремума: $x=-5$ — точка максимума, $x=3$ — точка минимума.

Можно ли ответить на этот вопрос, если функция y = f(x) является нечетной?

Да, можно. По определению, функция $y=f(x)$ является нечетной, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Это свойство симметрии влияет на характер экстремумов следующим образом: если $x_0$ является точкой локального максимума, то точка $-x_0$ будет точкой локального минимума, и наоборот.
Доказательство: пусть $x_0$ — точка максимума. Тогда в некоторой ее окрестности справедливо неравенство $f(x) \le f(x_0)$. Умножим обе части на $-1$: $-f(x) \ge -f(x_0)$. Используя свойство нечетности, получаем $f(-x) \ge f(-x_0)$. Это неравенство по определению означает, что $-x_0$ является точкой минимума.

Применяя это правило к исходным данным:

Если бы функция была нечетной, то из того, что $x=5$ — точка максимума, следовало бы, что $x=-5$ — точка минимума.

А из того, что $x=-3$ — точка минимума, следовало бы, что $x=-(-3)=3$ — точка максимума.

Ответ: да, можно. Если бы функция была нечетной, то $x=-5$ была бы точкой минимума, а $x=3$ — точкой максимума.