Номер 28.1, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

28.1. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке 70:

а) $f(x) = -x^3 - x^2 - x;$

б) $f(x) = x^3 - x^2 + x;$

в) $f(x) = x^3 + x^2 - x;$

г) $f(x) = -x^3 + x^2 + x;$

д) $f(x) = x^3 - x^2 - x.$

Рис. 70

Для того чтобы определить, какая из предложенных функций соответствует графику, проанализируем его ключевые особенности и проверим предложенные варианты.

1. Анализ поведения функции на бесконечности.

Из графика видно, что при $x \to +\infty$ значение функции $y \to +\infty$, а при $x \to -\infty$ значение функции $y \to -\infty$. Такое поведение характерно для кубической функции с положительным коэффициентом при старшем члене ($x^3$).

Рассмотрим предложенные варианты:

• а) $f(x) = -x^3 - x^2 - x$ (коэффициент при $x^3$ равен -1, отрицательный)
• б) $f(x) = x^3 - x^2 + x$ (коэффициент при $x^3$ равен 1, положительный)
• в) $f(x) = x^3 + x^2 - x$ (коэффициент при $x^3$ равен 1, положительный)
• г) $f(x) = -x^3 + x^2 + x$ (коэффициент при $x^3$ равен -1, отрицательный)
• д) $f(x) = x^3 - x^2 - x$ (коэффициент при $x^3$ равен 1, положительный)

На основании этого анализа мы можем сразу исключить варианты а) и г).

2. Проверка по контрольным точкам.

Теперь проверим оставшиеся варианты (б, в, д), используя точки, через которые проходит график. Из рисунка видно, что график проходит через точку $(1, -1)$. Подставим $x=1$ в оставшиеся функции:

• б) $f(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$. Это не соответствует значению $-1$ на графике.
• в) $f(1) = 1^3 + 1^2 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1$. Это также не соответствует значению $-1$ на графике.
• д) $f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1$. Это значение соответствует точке на графике.

Таким образом, единственная подходящая функция — это $f(x) = x^3 - x^2 - x$.

3. Дополнительная проверка.

Для полной уверенности проверим еще несколько точек для функции из варианта д):

• При $x=0$: $f(0) = 0^3 - 0^2 - 0 = 0$. График проходит через $(0, 0)$. Верно.
• При $x=2$: $f(2) = 2^3 - 2^2 - 2 = 8 - 4 - 2 = 2$. График проходит через $(2, 2)$. Верно.
• При $x=-1$: $f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) = -1 - 1 + 1 = -1$. График проходит через $(-1, -1)$. Верно.

Все проверки подтверждают, что правильный ответ — д).

а) $f(x) = -x^3 - x^2 - x$ Ответ: неверно, так как коэффициент при $x^3$ отрицательный, что противоречит поведению графика на бесконечности.

б) $f(x) = x^3 - x^2 + x$ Ответ: неверно, так как при $x=1$ значение функции $f(1)=1$, а на графике в этой точке значение равно $-1$.

в) $f(x) = x^3 + x^2 - x$ Ответ: неверно, так как при $x=1$ значение функции $f(1)=1$, а на графике в этой точке значение равно $-1$.

г) $f(x) = -x^3 + x^2 + x$ Ответ: неверно, так как коэффициент при $x^3$ отрицательный, что противоречит поведению графика на бесконечности.

д) $f(x) = x^3 - x^2 - x$ Ответ: верно, так как график функции проходит через все проверенные контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(-1, -1)$ и $(2, 2)$.