Номер 27.31, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.31. Докажите, что функция $y = f(x)$ является возрастающей:

а) $f(x) = \cos 2x + 3x;$

б) $f(x) = \sin x + x^3 + x.$

Для доказательства того, что функция является возрастающей, нужно найти ее производную и доказать, что она положительна для всех значений $x$ из области определения. Если $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ возрастает.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos(2x) + 3x$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (\cos(2x) + 3x)' = (\cos(2x))' + (3x)' = -\sin(2x) \cdot 2 + 3 = 3 - 2\sin(2x)$.

Теперь оценим знак производной. Область значений функции синус: $-1 \le \sin(2x) \le 1$.

Умножим все части этого двойного неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-2 \cdot 1 \le -2\sin(2x) \le -2 \cdot (-1)$

$-2 \le -2\sin(2x) \le 2$

Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$3 - 2 \le 3 - 2\sin(2x) \le 3 + 2$

$1 \le f'(x) \le 5$

Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна (ее значение лежит в отрезке $[1; 5]$), функция $f(x) = \cos(2x) + 3x$ является возрастающей на всей числовой прямой. Ответ: доказано.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x) + x^3 + x$.

Найдем производную данной функции:

$f'(x) = (\sin(x) + x^3 + x)' = (\sin(x))' + (x^3)' + (x)' = \cos(x) + 3x^2 + 1$.

Оценим знак производной $f'(x)$. Представим ее в виде суммы двух слагаемых: $f'(x) = (\cos(x) + 1) + 3x^2$.

Оценим каждое слагаемое:

1. Известно, что $-1 \le \cos(x) \le 1$. Следовательно, $\cos(x) + 1 \ge -1 + 1 = 0$. То есть, слагаемое $(\cos(x) + 1)$ всегда неотрицательно.

2. Слагаемое $3x^2$ также всегда неотрицательно, так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых $(\cos(x) + 1)$ и $3x^2$ равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю.

Проверим, возможно ли это:

$\cos(x) + 1 = 0 \implies \cos(x) = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$3x^2 = 0 \implies x = 0$.

Эти два условия не могут выполняться одновременно. Значит, хотя бы одно из слагаемых $(\cos(x) + 1)$ или $3x^2$ всегда строго больше нуля.

Следовательно, их сумма $f'(x) = (\cos(x) + 1) + 3x^2$ всегда строго положительна для любого $x$.

Так как производная $f'(x) > 0$ на всей области определения, функция $f(x) = \sin(x) + x^3 + x$ является возрастающей. Ответ: доказано.