Номер 27.24, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.24. Найдите наименьшее целое число из промежутка убывания функции $f(x) = x^3 + 10x^2 - 4.$

Для того чтобы найти промежуток убывания функции, необходимо найти ее производную. Функция убывает на тех интервалах, где ее производная принимает отрицательные значения.

Дана функция: $f(x) = x^3 + 10x^2 - 4$.

1. Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:

$f'(x) = (x^3 + 10x^2 - 4)' = (x^3)' + (10x^2)' - (4)' = 3x^2 + 20x$.

2. Найдем интервалы, на которых производная отрицательна, то есть решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 + 20x < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 + 20x = 0$:

$x(3x + 20) = 0$.

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{20}{3}$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 20x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ больше нуля ($3 > 0$). Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между ее корнями.

Таким образом, промежуток убывания функции $f(x)$ — это интервал $(-\frac{20}{3}, 0)$.

3. Найдем наименьшее целое число, принадлежащее этому промежутку.

Для этого представим левую границу интервала, которая является неправильной дробью, в виде смешанного числа:

$-\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3}$.

Итак, промежуток убывания — это $(-6\frac{2}{3}, 0)$.

Целые числа, которые находятся в этом интервале: -6, -5, -4, -3, -2, -1.

Наименьшим из этих целых чисел является -6.

27.24. Ответ: наименьшее целое число из промежутка убывания $(-\frac{20}{3}, 0)$, что эквивалентно $(-6\frac{2}{3}, 0)$, равно -6.