Номер 27.21, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.21. Изобразите график какой-нибудь функции $y = f(x)$, для которой:

a) область определения функции — промежуток $[-4; 5];$

б) множество значений функции — промежуток $[-3; 4];$

в) $f'(x) > 0$ при $x \in (-4; 1); f'(x) < 0$ при $x \in (1; 5); f'(1) = 0;$

г) $f(x) > 0$ только при $x \in (-3; 4); f(5) = -1.$

а) область определения функции — промежуток [−4; 5];
Это условие означает, что график функции должен существовать только для значений аргумента $x$ в диапазоне от -4 до 5 включительно. Таким образом, область определения функции $D(f) = [-4; 5]$.
Ответ: График функции будет расположен между вертикальными линиями $x=-4$ и $x=5$.

б) множество значений функции — промежуток [−3; 4];
Это условие означает, что все значения функции (координаты $y$) лежат в диапазоне от -3 до 4 включительно. Следовательно, наименьшее значение функции на её области определения равно -3, а наибольшее — 4.
Ответ: $E(f) = [-3; 4]$, то есть $y_{min} = -3$ и $y_{max} = 4$.

в) $f'(x) > 0$ при $x \in (-4; 1)$; $f'(x) < 0$ при $x \in (1; 5)$; $f'(1) = 0$;
Из этих условий следует, что функция возрастает на интервале $(-4; 1)$ (так как производная положительна) и убывает на интервале $(1; 5)$ (так как производная отрицательна). В точке $x=1$ производная равна нулю, и её знак меняется с «+» на «−», что указывает на то, что $x=1$ является точкой максимума. Поскольку это единственная точка экстремума, это точка абсолютного максимума.
Ответ: Функция возрастает на $[-4; 1]$ и убывает на $[1; 5]$. Точка $x=1$ — точка максимума.

г) $f(x) > 0$ только при $x \in (-3; 4)$; $f(5) = -1$.
Условие $f(x) > 0$ только на интервале $(-3; 4)$ означает, что график функции находится выше оси Ox именно в этом интервале. Следовательно, в точках $x = -3$ и $x = 4$ функция пересекает ось Ox, то есть $f(-3) = 0$ и $f(4) = 0$. Также задана конкретная точка на графике: $(5; -1)$.
Ответ: Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся при $x=-3$ и $x=4$. График проходит через точку $(5; -1)$.

Итоговый анализ и построение графика:

Соберем все полученные данные для построения эскиза графика:

1. Ключевые точки графика.
   • Из (в) и (б) следует, что в точке максимума $x=1$ функция достигает своего наибольшего значения, равного 4. Таким образом, точка максимума — (1; 4).
   • Из (г) мы знаем нули функции: (−3; 0) и (4; 0).
   • Из (г) также известна конечная точка графика: (5; −1).
   • Из (б) наименьшее значение функции равно -3. Это значение должно достигаться на концах области определения $[-4; 5]$. Поскольку $f(5) = -1$, наименьшее значение достигается в точке $x = -4$. Таким образом, начальная точка графика и точка минимума — (−4; −3).
2. Поведение функции.
   • Функция возрастает на отрезке $[-4; 1]$, плавно проходя через точки (−4; −3), (−3; 0) и достигая пика в (1; 4).
   • Функция убывает на отрезке $[1; 5]$, спускаясь от точки (1; 4) через (4; 0) до конечной точки (5; −1).

Все условия выполнены. Теперь можно изобразить график функции.