Номер 27.25, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.25 Найдите наибольшее целое отрицательное число из промежутка возрастания функции $f(x) = - \frac{(x-2)^2}{x+1}$.

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции, необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах она положительна.

1. Нахождение производной функции

Дана функция $f(x) = -\frac{(x-2)^2}{x+1}$.

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq -1$.

Для нахождения промежутков возрастания найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(-\frac{(x-2)^2}{x+1}\right)' = -\frac{((x-2)^2)'(x+1) - (x-2)^2(x+1)'}{(x+1)^2}$

$f'(x) = -\frac{2(x-2)(x+1) - (x-2)^2 \cdot 1}{(x+1)^2}$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ в числителе для упрощения:

$f'(x) = -\frac{(x-2)[2(x+1) - (x-2)]}{(x+1)^2} = -\frac{(x-2)(2x+2 - x+2)}{(x+1)^2}$

В результате получаем производную: $f'(x) = -\frac{(x-2)(x+4)}{(x+1)^2}$.

2. Нахождение промежутков возрастания

Функция возрастает, когда ее производная положительна, то есть $f'(x) > 0$.

$-\frac{(x-2)(x+4)}{(x+1)^2} > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{(x-2)(x+4)}{(x+1)^2} < 0$

Знаменатель $(x+1)^2$ всегда положителен при $x \neq -1$. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Решим неравенство:

$(x-2)(x+4) < 0$

Нули числителя: $x=2$ и $x=-4$. Это парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, решение неравенства — интервал $(-4, 2)$.

Учитывая область определения ($x \neq -1$), получаем, что функция возрастает на промежутках $(-4, -1)$ и $(-1, 2)$.

3. Нахождение наибольшего целого отрицательного числа из промежутков возрастания

Промежутки возрастания: $(-4, -1) \cup (-1, 2)$.

Целые числа, входящие в промежуток $(-4, -1)$: -3, -2.

Целые числа, входящие в промежуток $(-1, 2)$: 0, 1.

Нас интересуют только целые отрицательные числа. Из найденных чисел это -3 и -2.

Наибольшим из этих чисел является -2.

Ответ: -2