Номер 27.26, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.26. Найдите промежутки монотонности функции:

$f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$;

$f(x) = \cos x + x$.

а) Для того чтобы найти промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$, необходимо исследовать знак ее первой производной. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x - \frac{x}{2})' = (\sin x)' - (\frac{x}{2})' = \cos x - \frac{1}{2}$.

Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна, то есть $f'(x) > 0$.

$\cos x - \frac{1}{2} > 0 \implies \cos x > \frac{1}{2}$.

Это неравенство справедливо для $x$, принадлежащих интервалам $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Так как функция непрерывна, концы промежутков можно включить. Таким образом, функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает на тех промежутках, где ее производная отрицательна, то есть $f'(x) < 0$.

$\cos x - \frac{1}{2} < 0 \implies \cos x < \frac{1}{2}$.

Это неравенство справедливо для $x$, принадлежащих интервалам $(\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Включая концы промежутков, получаем, что функция убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$ и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \mathbf{1}\frac{2}{3}\pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Найдем промежутки монотонности для функции $f(x) = \cos x + x$. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x + x)' = (\cos x)' + (x)' = -\sin x + 1$.

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = 1 - \sin x$. Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ для любого $x$.

Отсюда следует, что $1 - \sin x \ge 1 - 1 = 0$. Таким образом, производная $f'(x)$ всегда неотрицательна ($f'(x) \ge 0$) для всех $x \in \mathbb{R}$.

Производная обращается в ноль только в тех точках, где $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Поскольку производная неотрицательна на всей числовой прямой и равна нулю лишь в отдельных точках, функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.