Номер 27.29, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.29. Найдите максимум функции

$f(x) = -4x^3 - 4x^2 + 1.$

Для того чтобы найти максимум функции $f(x) = -4x^3 - 4x^2 + 1$, необходимо найти ее производную, определить критические точки и исследовать их на экстремум.

1. Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(-4x^3 - 4x^2 + 1) = -4 \cdot 3x^2 - 4 \cdot 2x + 0 = -12x^2 - 8x$.

2. Далее, чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$f'(x) = 0 \implies -12x^2 - 8x = 0$.

Вынесем за скобки общий множитель $-4x$:

$-4x(3x + 2) = 0$.

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$. Это критические точки функции.

3. Теперь необходимо определить, какая из этих точек является точкой максимума. Для этого можно исследовать знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось, либо использовать вторую производную. Воспользуемся вторым способом. Найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = \frac{d}{dx}(-12x^2 - 8x) = -24x - 8$.

Проверим знак второй производной в каждой критической точке:

• Для точки $x_1 = 0$: $f''(0) = -24(0) - 8 = -8$. Поскольку $f''(0) < 0$, точка $x=0$ является точкой локального максимума.
• Для точки $x_2 = -\frac{2}{3}$: $f''(-\frac{2}{3}) = -24(-\frac{2}{3}) - 8 = 16 - 8 = 8$. Поскольку $f''(-\frac{2}{3}) > 0$, точка $x=-\frac{2}{3}$ является точкой локального минимума.

4. Наконец, вычислим значение функции в точке максимума $x=0$, подставив это значение в исходное уравнение функции:

$f_{max} = f(0) = -4(0)^3 - 4(0)^2 + 1 = 1$.

Ответ: 1.