Номер 27.32, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

27.32. Докажите, что функция $y = f(x)$ является убывающей:

a) $f(x)=\sin3x-4x$;

б) $f(x)=\cos5x-6x$.

Для доказательства того, что функция $y = f(x)$ является убывающей, достаточно доказать, что её производная $f'(x)$ отрицательна на всей области определения.

а) Дана функция $f(x) = \sin3x - 4x$.

Найдём её производную, используя правило дифференцирования суммы и сложной функции:

$f'(x) = (\sin3x - 4x)' = (\sin3x)' - (4x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' - 4 = 3\cos(3x) - 4$.

Теперь оценим знак производной. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1; 1]$, следовательно, для любого $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \cos(3x) \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на 3:

$-3 \le 3\cos(3x) \le 3$

Вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-3 - 4 \le 3\cos(3x) - 4 \le 3 - 4$

$-7 \le f'(x) \le -1$

Так как производная $f'(x)$ всегда отрицательна (её значения лежат в отрезке $[-7, -1]$) для любого действительного $x$, то функция $f(x)$ является убывающей на всей числовой прямой. Ответ:

б) Дана функция $f(x) = \cos5x - 6x$.

Найдём её производную:

$f'(x) = (\cos5x - 6x)' = (\cos5x)' - (6x)' = -\sin(5x) \cdot (5x)' - 6 = -5\sin(5x) - 6$.

Оценим знак производной. Область значений функции синус есть отрезок $[-1; 1]$, следовательно, для любого $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \sin(5x) \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на -5, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$(-1) \cdot (-5) \ge -5\sin(5x) \ge 1 \cdot (-5)$

$5 \ge -5\sin(5x) \ge -5$

Запишем в привычном виде:

$-5 \le -5\sin(5x) \le 5$

Вычтем 6 из всех частей неравенства:

$-5 - 6 \le -5\sin(5x) - 6 \le 5 - 6$

$-11 \le f'(x) \le -1$

Так как производная $f'(x)$ всегда отрицательна (её значения лежат в отрезке $[-11, -1]$) для любого действительного $x$, то функция $f(x)$ является убывающей на всей числовой прямой. Ответ: