Номер 28.4, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

28.4. Исследуйте функцию $f(x) = -x^4 + 2x^2 + 8$ с помощью производной. Определите, при каких значениях $a$ уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$ не имеет корней.

Исследуйте функцию $f(x) = -x^4 + 2x^2 + 8$ с помощью производной. Ответ:

Для исследования функции $f(x) = -x^4 + 2x^2 + 8$ найдём её производную:
$f'(x) = (-x^4 + 2x^2 + 8)' = -4x^3 + 4x$.

Критические точки функции находятся из условия $f'(x) = 0$:
$-4x^3 + 4x = 0$
$-4x(x^2 - 1) = 0$
$-4x(x - 1)(x + 1) = 0$.
Отсюда получаем критические точки: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$.

Проанализируем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось:
При $x \in (-\infty; -1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x \in (-1; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (0; 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x \in (1; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Из смены знака производной определяем характер экстремумов:
$x = -1$ и $x = 1$ — точки максимума.
$x = 0$ — точка минимума.

Вычислим значения функции в точках экстремума:
Максимумы: $f(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.
Максимумы: $f(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.
Минимум: $f(0) = -(0)^4 + 2(0)^2 + 8 = 8$.
Так как старший коэффициент многочлена отрицателен, ветви графика уходят в $-\infty$ при $x \to \pm\infty$. Следовательно, $9$ является глобальным максимумом функции, а область значений функции $E(f) = (-\infty; 9]$.

Определите, при каких значениях $a$ уравнение $-x⁴ + 2x² + 8 = a$ не имеет корней. Ответ:

Количество корней уравнения $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = a$.
Из исследования функции известно, что её область значений $E(f) = (-\infty; 9]$. Это означает, что максимальное значение, которое может принимать функция, равно $9$.
Если значение $a$ будет строго больше $9$, то прямая $y=a$ не будет иметь общих точек с графиком функции $y=f(x)$.
Следовательно, уравнение не имеет корней при $a > 9$. Искомый промежуток: $a \in (9; +\infty)$.