Номер 29.4, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

a) $y = x^2 + \frac{16}{x}$ на отрезке $[1; 9];$

б) $y = \frac{24}{x} + 1,5x$ на отрезке $[2; 8].$

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^2 + \frac{16}{x}$ на отрезке $[1; 9]$, найдём её производную, критические точки, а затем вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Находим производную функции:

$y' = (x^2 + \frac{16}{x})' = (x^2 + 16x^{-1})' = 2x - 16x^{-2} = 2x - \frac{16}{x^2}$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$2x - \frac{16}{x^2} = 0$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{2x^3 - 16}{x^2} = 0$

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Область определения функции $x \ne 0$.

$2x^3 - 16 = 0$

$2x^3 = 16$

$x^3 = 8$

$x = 2$

Критическая точка $x=2$ принадлежит заданному отрезку $[1; 9]$.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=1$, $x=9$) и в критической точке ($x=2$):

$y(1) = 1^2 + \frac{16}{1} = 1 + 16 = 17$

$y(2) = 2^2 + \frac{16}{2} = 4 + 8 = 12$

$y(9) = 9^2 + \frac{16}{9} = 81 + \frac{16}{9} = \frac{729 + 16}{9} = \frac{745}{9} = 82\frac{7}{9}$

4. Сравниваем полученные значения: $12$, $17$, $82\frac{7}{9}$.

Наименьшее значение равно $12$, а наибольшее — $82\frac{7}{9}$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 12$; наибольшее значение функции $y_{max} = \textbf{82}\frac{7}{9}$.

б)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \frac{24}{x} + 1,5x$ на отрезке $[2; 8]$, используем тот же алгоритм.

1. Находим производную функции:

$y' = (\frac{24}{x} + 1,5x)' = (24x^{-1} + 1,5x)' = -24x^{-2} + 1,5 = -\frac{24}{x^2} + 1,5$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$-\frac{24}{x^2} + 1,5 = 0$

$1,5 = \frac{24}{x^2}$

$1,5x^2 = 24$

$x^2 = \frac{24}{1,5} = \frac{240}{15} = 16$

$x = \pm 4$

Из найденных критических точек только $x=4$ принадлежит отрезку $[2; 8]$.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=2$, $x=8$) и в критической точке ($x=4$):

$y(2) = \frac{24}{2} + 1,5 \cdot 2 = 12 + 3 = 15$

$y(4) = \frac{24}{4} + 1,5 \cdot 4 = 6 + 6 = 12$

$y(8) = \frac{24}{8} + 1,5 \cdot 8 = 3 + 12 = 15$

4. Сравниваем полученные значения: $12$, $15$.

Наименьшее значение равно $12$, а наибольшее — $15$.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 12$; наибольшее значение функции $y_{max} = 15$.