Номер 29.9, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.9. В равнобедренной трапеции меньшее основание и боковая сторона равны по 4 см. Найдите, при какой длине большего основания площадь трапеции окажется наибольшей.

Пусть дана равнобедренная трапеция с основаниями $a$ и $b$, где $a$ - большее основание, $b$ - меньшее. По условию, меньшее основание $b = 4$ см и боковые стороны $c = 4$ см. Наша задача — найти такое значение $a$, при котором площадь трапеции $S$ будет наибольшей.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. В нашем случае:$S(a) = \frac{a + 4}{2} \cdot h$.

Чтобы выразить площадь как функцию одной переменной $a$, найдем высоту $h$ через $a$. Проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Они отсекут на большем основании отрезок, равный меньшему основанию, и два равных отрезка по краям. Длина каждого из этих отрезков равна $\frac{a - b}{2}$. В нашем случае длина отрезка равна $\frac{a - 4}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой трапеции (катет) и отрезком $\frac{a - 4}{2}$ (второй катет). По теореме Пифагора:$c^2 = h^2 + \left(\frac{a - 4}{2}\right)^2$$4^2 = h^2 + \left(\frac{a - 4}{2}\right)^2$$h^2 = 16 - \frac{(a-4)^2}{4} = \frac{64 - (a^2 - 8a + 16)}{4} = \frac{-a^2 + 8a + 48}{4}$$h = \frac{1}{2}\sqrt{-a^2 + 8a + 48}$. Для существования высоты подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $-a^2 + 8a + 48 \ge 0$. Также, по определению трапеции, $a > b$, то есть $a > 4$. Решая неравенство, находим, что область определения для $a$ есть интервал $(4, 12]$.

Подставим выражение для $h$ в формулу площади:$S(a) = \frac{a+4}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{-a^2 + 8a + 48} = \frac{a+4}{4}\sqrt{-a^2 + 8a + 48}$.

Для нахождения максимума функции $S(a)$ удобнее исследовать на максимум ее квадрат, $f(a) = S^2(a)$, так как это избавляет от квадратного корня, а точка максимума для $S(a)$ и $S^2(a)$ совпадает (поскольку $S(a) > 0$).$f(a) = \left(\frac{a+4}{4}\right)^2 (-a^2 + 8a + 48) = \frac{(a+4)^2}{16}(-a^2 + 8a + 48)$.

Найдем производную функции $f(a)$ по правилу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:$f'(a) = \frac{1}{16} \left[ (2(a+4))(-a^2 + 8a + 48) + (a+4)^2(-2a + 8) \right]$. Вынесем общий множитель $2(a+4)$ за скобки:$f'(a) = \frac{2(a+4)}{16} \left[ (-a^2 + 8a + 48) + (a+4)(-a + 4) \right]$.$f'(a) = \frac{a+4}{8} \left[ -a^2 + 8x + 48 + (16 - a^2) \right]$.$f'(a) = \frac{a+4}{8} (-2a^2 + 8a + 64) = -\frac{a+4}{4} (a^2 - 4a - 32)$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$-\frac{a+4}{4} (a^2 - 4a - 32) = 0$. Решим квадратное уравнение $a^2 - 4a - 32 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:$D = (-4)^2 - 4(1)(-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2$.$a_1 = \frac{4 - 12}{2} = -4$.$a_2 = \frac{4 + 12}{2} = 8$.

Корень $a_1 = -4$ не входит в область определения $(4, 12]$. Корень $a_2 = 8$ входит в эту область. Исследуем знак производной $f'(a) = -\frac{(a+4)^2}{4}(a-8)$. На интервале $(4, 8)$ множитель $(a-8)$ отрицателен, поэтому $f'(a) > 0$, и функция $S(a)$ возрастает. На интервале $(8, 12]$ множитель $(a-8)$ положителен, поэтому $f'(a) < 0$, и функция $S(a)$ убывает. Следовательно, в точке $a=8$ функция площади достигает своего максимума.

29.9. В равнобедренной трапеции меньшее основание и боковая сторона равны по 4 см. Найдите, при какой длине большего основания площадь трапеции окажется наибольшей. Ответ: 8