Номер 29.7, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.7. Выращенную клубнику отправляют в магазин в коробках, имеющих форму правильной четырехугольной призмы, периметр боковой грани которой равен 56 см. Какими должны быть размеры коробки, чтобы ее вместимость была наибольшей?

Пусть сторона основания правильной четырехугольной призмы равна $a$, а высота призмы равна $h$. Коробка имеет форму правильной четырехугольной призмы, следовательно, ее основание — это квадрат со стороной $a$, а боковые грани — равные прямоугольники со сторонами $a$ и $h$.

По условию задачи, периметр боковой грани равен 56 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина})$. Для боковой грани это будет:

$2(a + h) = 56$

Разделив обе части уравнения на 2, получим:

$a + h = 28$

Из этого соотношения можно выразить высоту $h$ через сторону основания $a$:

$h = 28 - a$

Вместимость коробки — это ее объем $V$. Объем призмы вычисляется как произведение площади основания на высоту. Площадь квадратного основания равна $S_{осн} = a^2$.

Формула для объема коробки:

$V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot h$

Чтобы найти наибольшую вместимость, нужно максимизировать эту функцию. Подставим выражение для $h$ в формулу объема, чтобы получить функцию, зависящую только от переменной $a$:

$V(a) = a^2(28 - a) = 28a^2 - a^3$

Для нахождения максимального значения функции найдем ее производную по переменной $a$ и приравняем ее к нулю.

$V'(a) = (28a^2 - a^3)' = 2 \cdot 28a - 3a^2 = 56a - 3a^2$

Теперь решим уравнение $V'(a) = 0$ для нахождения критических точек:

$56a - 3a^2 = 0$

$a(56 - 3a) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $a_1 = 0$ и $a_2 = \frac{56}{3}$.

Решение $a = 0$ не подходит, так как сторона основания не может быть нулевой.

Проверим, является ли точка $a = \frac{56}{3}$ точкой максимума. Для этого используем вторую производную:

$V''(a) = (56a - 3a^2)'' = 56 - 6a$

Вычислим значение второй производной в критической точке $a = \frac{56}{3}$:

$V''(\frac{56}{3}) = 56 - 6 \cdot \frac{56}{3} = 56 - 2 \cdot 56 = -56$

Поскольку $V''(\frac{56}{3}) < 0$, точка $a = \frac{56}{3}$ является точкой максимума для функции объема.

Теперь, когда мы нашли оптимальное значение стороны основания, найдем соответствующую высоту:

$a = \frac{56}{3}$ см.

$h = 28 - a = 28 - \frac{56}{3} = \frac{28 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3} = \frac{84 - 56}{3} = \frac{28}{3}$ см.

Таким образом, размеры коробки, при которых ее вместимость будет наибольшей, следующие:

Длина: Ответ: $\textbf{18}\frac{2}{3}$ см.

Ширина: Ответ: $\textbf{18}\frac{2}{3}$ см.

Высота: Ответ: $\textbf{9}\frac{1}{3}$ см.