Номер 29.6, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.6. Найдите наибольшее значение функции $f(x) = \cos^2 x + \sin x$ на отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$.

Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \cos^2 x + \sin x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$ необходимо найти её производную, приравнять к нулю для нахождения критических точек, а затем сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Преобразуем функцию, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$f(x) = (1 - \sin^2 x) + \sin x = -\sin^2 x + \sin x + 1$

2. Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (-\sin^2 x + \sin x + 1)' = -2\sin x \cdot \cos x + \cos x$

Вынесем общий множитель $\cos x$:

$f'(x) = \cos x (1 - 2\sin x)$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\cos x (1 - 2\sin x) = 0$

Это уравнение выполняется в двух случаях:

а) $\cos x = 0$. Решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Ни одно из этих решений не принадлежит заданному отрезку $[0; \frac{\pi}{4}]$.

б) $1 - 2\sin x = 0$, что дает $\sin x = \frac{1}{2}$. Решение, попадающее в отрезок $[0; \frac{\pi}{4}]$, это $x = \frac{\pi}{6}$.

4. Вычислим значения функции в найденной критической точке $x = \frac{\pi}{6}$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=\frac{\pi}{4}$.

При $x=0$:

$f(0) = \cos^2(0) + \sin(0) = 1^2 + 0 = 1$

При $x=\frac{\pi}{6}$:

$f(\frac{\pi}{6}) = \cos^2(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$

При $x=\frac{\pi}{4}$:

$f(\frac{\pi}{4}) = \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

5. Сравним полученные значения: $1$, $\frac{5}{4}$ и $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$.

Мы знаем, что $\frac{5}{4} = 1.25$.

Приближенное значение для $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ равно $\frac{1+1.414}{2} \approx 1.207$.

Сравнивая значения $1$, $1.25$ и $1.207$, видим, что наибольшим является $1.25 = \frac{5}{4}$.

29.6. Ответ: $\mathbf{1}\frac{1}{4}$